Polygon - Mittelpunkt und Schwerepunkt?
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Hi, ich wollte fragen, was der Mittelpunkt bzw. Schwerpunkt eines beliebigen (konvexen) Polygons ist?
Hintergrund: Es geht in Richtung Graphentheorie. Ich möchte den Ort in China finden, der gleichweit von jeder Küste entfernt ist.
(Gebe es keine Gebirge usw., also den Ort, der bei einer Überschwemmung als letztes überspült würde...)
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Du kannst buchstäblich deine Überschrift in Google tippen und bekommst die Antwort…
Ich möchte den Ort in China finden, der gleichweit von jeder Küste entfernt ist.
Das ist aber nicht der Schwerpunkt. So einen Punkt gibt es nur bei Kreisen und da ist er nicht schwer zu bestimmen.
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Meinst du so etwas wie Geometrischer Schwerpunkt?
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Und nehmen wir an, China sei konvex, es gebe nur 1000 Polygonecken und es sei nur die Entfernung zur südlichen Küste gesucht.
@Th69 sagte in Polygon - Mittelpunkt und Schwerepunkt?:
Meinst du so etwas wie Geometrischer Schwerpunkt?
Das weiß ich leider nicht genau, der Ort, der zu jedem Punkt der südlichen Küste gleich weit entfernt ist.
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Das ändert nix. Ein Objekt, wo ein Punkt genau gleich weit von allen anderen Punkten entfernt ist, ist per Definition ein Kreis (oder (Hyper-)Kugel), oder ein Abschnitt davon. Ist die Südküste ein Kreisabschnitt? Nein.
PS: Die Bemerkung mit der Hyperkugel bringt mich zu der Klugscheißerantwort: Der Punkt, der von der Küste Chinas überall gleich weit entfernt ist, ist der Erdmittelpunkt!
PPS: Auch wenn du letztlich merkst, dass du vielleicht tatsächlich den Schwerpunkt Chinas bestimmen möchtest: China als ein flaches 2D-Polynom ist eine gewagte Vereinfachung, wenn es sich doch über einen recht bedeutenden Teil der gekrümmten Erdkugel erstreckt. Der Schwerpunkt der Oberfläche Chinas wird also tief im Erdinneren liegen.
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@TaucherOne sagte in Polygon - Mittelpunkt und Schwerepunkt?:
Hi, ich wollte fragen, was der Mittelpunkt bzw. Schwerpunkt eines beliebigen (konvexen) Polygons ist?
Wenn es nur darum geht (ohne Graphentheorie und ohne Chinas Landfläche), und wenn die Eckpunkte 2D bzw 3D-Vektoren sind, bilde ich die Summe der Vektoren geteilt durch die Anzahl. Dann habe ich den Mittelpunkt.
Aber das ist wahrscheinlich so einfach, das es wieder falsch ist
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@zeropage sagte in Polygon - Mittelpunkt und Schwerepunkt?:
Wenn es nur darum geht (ohne Graphentheorie und ohne Chinas Landfläche), und wenn die Eckpunkte 2D bzw 3D-Vektoren sind, bilde ich die Summe der Vektoren geteilt durch die Anzahl. Dann habe ich den Mittelpunkt.
Aber das ist wahrscheinlich so einfach, das es wieder falsch ist
Es ist Unsinn. Das misst bloß, auf welcher Seite du mehr Eckpunkte hast. Sei es, weil auf der Seite mehr Ecken sind, oder weil deine Karte dort mehr Details hat.
Du musst schon das Integral über alle Punkte des gesamten Objekts nehmen. Und das ist halt der Schwerpunkt.
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@SeppJ sagte in Polygon - Mittelpunkt und Schwerepunkt?:
Es ist Unsinn.
Unsinn hin oder her, für konvexe Polygone hat es bisher gereicht. Wie hätte ich sonst Drehungen von Körpern um den Mittelpunkt realisieren können?
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@TaucherOne sagte in Polygon - Mittelpunkt und Schwerepunkt?:
(Gebe es keine Gebirge usw., also den Ort, der bei einer Überschwemmung als letztes überspült würde...)
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... der Ort, der zu jedem Punkt der südlichen Küste gleich weit entfernt ist.Das hat dann aber nichts mit dem Mittel- oder Schwerpunkt zu tun, sondern naiv würde ich dann sagen, ist es einfach der nördlichste Punkt Chinas (wenn man von einer gleichmäßigen Überschwemmung vom Süden her ausgeht).
PS: Meinst du nur das Südchinesische Meer - oder die gesamte Küste, also auch Ostchinesische und Gelbe Meer (Karte v. China)?
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@zeropage sagte in Polygon - Mittelpunkt und Schwerepunkt?:
Wenn es nur darum geht (ohne Graphentheorie und ohne Chinas Landfläche), und wenn die Eckpunkte 2D bzw 3D-Vektoren sind, bilde ich die Summe der Vektoren geteilt durch die Anzahl. Dann habe ich den Mittelpunkt.
Ein Gegenbeispiel:
Betrachten wir mal das Polygon (0, 0), (1, 0), (1,1), (0, 1). Der Schwerpunkt liegt hier bei (0.5, 0.5). Der Mittelwert der Vektoren liegt ebenfalls bei (0.5, 0.5).
Betrachten wir aber nun das Polygon (0, 0), (1, 0), (1,1), (0, 1), (0, 0), (0, 0), (0, 0). Der Schwerpunkt liegt unverändert bei (0.5, 0.5), wohingegen der Mittelwert der Vektoren bei (2/7, 2/7) liegt.
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@zeropage sagte in Polygon - Mittelpunkt und Schwerepunkt?:
@SeppJ sagte in Polygon - Mittelpunkt und Schwerepunkt?:
Es ist Unsinn.
Unsinn hin oder her, für konvexe Polygone hat es bisher gereicht. Wie hätte ich sonst Drehungen von Körpern um den Mittelpunkt realisieren können?
Nein, das ist garantiert Unsinn, der nie funktioniert haben kann. Entweder erklärst du hier was falsch, oder du meinst regelmäßige Polygone, wo es zufällig doch aufgeht. Siehe das Beispiel von Quiche Loraine. Oder sag mir wo dein "Mittelpunkt" von Texas liegt (in Mexiko?).
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@Th69 sagte in Polygon - Mittelpunkt und Schwerepunkt?:
Das hat dann aber nichts mit dem Mittel- oder Schwerpunkt zu tun, sondern naiv würde ich dann sagen, ist es einfach der nördlichste Punkt Chinas
Es gibt aber mehrere nördliche Punkte und die südliche Küste ist auch nicht "viereckig" sondern rund...
Hintergrund 2: Wenn ich von diesem Ort zur Küste reisen möchte, möchte ich auswählen können, zu welcher Küste und die Fahrtkosten sollten gleich hoch sein. Jetzt ist es doch hoffentlich verständlicher.
Sagen wir, China sei als (konvexes) 2D-Polygon gegeben und für die Küste kommen 250 von 1000 Polygonpunkte infrage, die ich möglicherweise bereisen möchte.
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Was willst du wirklich wissen? Ist das eine reale Frage, wo man reale Preisgestaltung von chinesischem Verkehrsmitteln wissen muss?
Wie schon erklärt, gibt es keinen Punkt (außer dem Erdmittelpunkt), der von jedem Punkt der Küste gleich weit weg ist. Denk da bitte darüber nach, damit du endlich kapierst, warum das nicht geht! Dann kannst du vielleicht auch besser formulieren, was du wirklich wissen willst.
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@SeppJ sagte in Polygon - Mittelpunkt und Schwerepunkt?:
@zeropage sagte in Polygon - Mittelpunkt und Schwerepunkt?:
@SeppJ sagte in Polygon - Mittelpunkt und Schwerepunkt?:
Es ist Unsinn.
Unsinn hin oder her, für konvexe Polygone hat es bisher gereicht. Wie hätte ich sonst Drehungen von Körpern um den Mittelpunkt realisieren können?
Nein, das ist garantiert Unsinn, der nie funktioniert haben kann. Entweder erklärst du hier was falsch, oder du meinst regelmäßige Polygone, wo es zufällig doch aufgeht. Siehe das Beispiel von Quiche Loraine. Oder sag mir wo dein "Mittelpunkt" von Texas liegt (in Mexiko?).
Ich denke das funktioniert durchaus für Dreiecksnetze, die @zeropage hier eventuell meint, wenn er von "Polygonen" spricht: Entweder man gewichtet die Vertex-Koordinaten mit der Dreiecksfläche, oder man hat ohnehin schon ein sehr gleichförmig trianguliertes Mesh, bei dem alle Dreiecke annähernd die gleiche Fläche
haben.Effektiv ist das dann eine numerische Annäherung an das von @SeppJ erwähnte "Integral über alle Punkte des gesamten Objekts". Wenn man also eine hochwertige Triangulierung des Objekts hat, dann kann man das durchaus so berechnen, wie @zeropage vorgeschlagen hat und eine sinnvolle Approximation erhalten. Für lediglich die Eckpunkte beliebiger Polygone funktioniert das jedoch aus den genannten Gründen nicht.
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Das ist eine ganz schön großzügige Auslegung dessen, was zeropage gesagt hat. Aber ich habe ja auch selber vermutet, dass er etwas wesentliches weggelassen hat, wenn es angeblich doch funktioniert, was ich ihm ja auch glaube. Jedenfalls seien alle unbedarften Leser, die nach dem Schwerpunkt eines Polygons suchen, ausdrücklich gewarnt, dass das Mitteln der Eckpunkte grober Unsinn ist! Das kann nicht das funktionierende Verfahren von zeropage sein.
Wobei das Verfahren mit dem Dreiecksnetz dann doch wieder unnötig umständlich und noch dazu ungenau ist. Man kann den Schwerpunkt eines beliebigen(!) Polygons schließlich analytisch direkt per Formel aus den Eckpunkten ablesen. Es ist halt bloß nicht ganz so einfach wie der Mittelwert.
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@SeppJ sagte in Polygon - Mittelpunkt und Schwerepunkt?:
Das ist eine ganz schön großzügige Auslegung dessen, was zeropage gesagt hat [...] Jedenfalls seien alle unbedarften Leser, die nach dem Schwerpunkt eines Polygons suchen, ausdrücklich gewarnt [...]
Das war eher als diplomatischer Erklärungsansatz gemeint, warum das bei @zeropage bisher scheinbar* so funktioniert haben könnte. Ich unterstütze auch einen hohen Standard der Antworten hier
* vielleicht auch wirklich nur scheinbar - ich kann mir gut vorstellen, dass das Mitteln für viele Polygone Ergebnisse liefert, die "irgendwie richtig aussehen", aber es nicht sind.
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@Finnegan sagte in Polygon - Mittelpunkt und Schwerepunkt?:
Entweder man gewichtet die Vertex-Koordinaten mit der Dreiecksfläche
WIe funktioniert das?
Ich stelle mir da z.B. das Achteck von https://de.wikipedia.org/wiki/Datei:Putnam-Achteck_1.svg vor. Wie gewichte ich den mittleren Punkt, welcher ja zu 8 Dreiecken gehört?
Wie funktioniert überhaupt die Schwerpunktberechnung über eine Vermaschung?
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Um das nochmal zu betonen: Für jedes beliebige Polynom (konstanter Dichte) kann man einfach die Eckpunkte in eine Formel einsetzen, die man überall nachschlagen kann, wo es mathematische Formeln gibt. Da braucht man nix mit Dreiecksnetz. Wenn das Netz also ein Polynom beschreibt, kann man die ganzen Dreiecke weglassen und einfach nur alle außenliegenden Ecken in die Formel einsetzen. Dann kommt das gleiche Ergebnis raus.
Was Finnegan hier mit der Gewichtung nach Dreieicksfläche meint, ist auch buchstäblich das "Gewicht" des Dreiecks. Da man konstante Dichte annimmt, ist die Fläche ja gleichzeitig das Gewicht. Man kann also den Beitrag eines Dreiecks zum Gesamtschwerpunkt eines Objekts aus vielen Dreiecken ermitteln, indem man die jeweiligen Schwerpunkte dieser Dreiecke mittelt, wobei halt jedes Dreieck mit seinem Gewicht (äquivalent seiner Fläche) beiträgt. Das funktioniert dann auch mit 3D-Körpern, oder mit verrückten Objekten mit Überschneidungen oder die nicht zusammenhängen, was ganz nützlich ist.
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@Quiche-Lorraine sagte in Polygon - Mittelpunkt und Schwerepunkt?:
@zeropage sagte in Polygon - Mittelpunkt und Schwerepunkt?:
Ein Gegenbeispiel:
Betrachten wir mal das Polygon (0, 0), (1, 0), (1,1), (0, 1). Der Schwerpunkt liegt hier bei (0.5, 0.5). Der Mittelwert der Vektoren liegt ebenfalls bei (0.5, 0.5).
Betrachten wir aber nun das Polygon (0, 0), (1, 0), (1,1), (0, 1), (0, 0), (0, 0), (0, 0). Der Schwerpunkt liegt unverändert bei (0.5, 0.5), wohingegen der Mittelwert der Vektoren bei (2/7, 2/7) liegt.
Das stimmt, ja. Aber wenn man ein Rechteck zeichnen will, gibt man dem doch nicht noch zusätzliche Nullpunkte hinzu. Das Extreme wäre dann ein Polygon nur aus Nullpunkten. Ich kann mir jetzt in meinem beschaulichen Horizont keine Notwendigkeit dafür vorstellen.
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@zeropage sagte in Polygon - Mittelpunkt und Schwerepunkt?:
Das stimmt, ja. Aber wenn man ein Rechteck zeichnen will, gibt man dem doch nicht noch zusätzliche Nullpunkte hinzu. Das Extreme wäre dann ein Polygon nur aus Nullpunkten. Ich kann mir jetzt in meinem beschaulichen Horizont keine Notwendigkeit dafür vorstellen.
Aber das bringt dich nicht zum Nachdenken, was an deiner Methode falsch sein soll? Nimm ein Quadrat, das hat seinen Schwerpunkt wo du es intuitiv erwartest. Nun nimm das gleiche Quadrat und mach in einer Ecke viele kleine feine Zacken, aber im großen und ganzen immer noch ein Quadrat. Nach deiner Methode ist der Schwerpunkt nun auf einmal in der Ecke mit den Zacken. Verstehst du jetzt, was mit der Methode nicht stimmt?
