Geometriefrage

Hi

Es wäre gut wenn mir jemand erzählen könnte,
wie ich die Z-Position eines 2D-Punktes auf
einem 3D-Dreieck erfahre/errechene.

Schon mal Danke im voraus...

b7f7

Dreieck
-> 2 Richtungsvectoren
das kreuzprodukt gibt dir ne senkrechte
dann eine Gerade mit der Senkrechten und mit dem Dreieck schneiden (Ebene durch Dreieck)

Eho

Wenn du das etwas genauer beschreiben würdest, dann könnte ich dir helfen.

der b7f7 labert müll

Walli

Du hast ja x und y-Koordinate des Punktes in der "Dreiecksebene". Wenn du die Koordinatenform hast setzt du x und y des Punktes ein und formst nach z um... ganz einfach

Frunks

Bei den X und Y -Koordinaten war ich auch schon lang nur ich bekomm das Um-formen nicht hin. Ich hab auch schon mehrmals rum probiert aber nicht das richtige Z rausbekommen.

Und noch mal prezieser:
-Ich hab ein 3D-Dreieck.
-Alle X,Y,Z bei allen 3 Punkten bekannt.
-Jetzt hab ich einen Punkt der sich innerhalb des Dreiecks befindet.
-X und Y des Punktes sind bekannt
-Z des Punktes ist gefragt.

Und das mit den 2Richtungsvectoren ist mir bekannt, aber wie ich damit
umgehen muss nicht.

Nun ist die Frage, wie errechnen ich hieraus Z?

b7f7

X und Y in 3D oder 2D-Dreieckssystem?
wenn 3D,dann ist es jetzt der durchstosspunkt der Z-achse durch die Dreiecksebene?

Eho

Stell die Normalenform der Dreiecksebene auf. Setz (px;py;0)+z(0;0;1)* ein und löse das ganze dann nach z auf, dann hast du deinen z Wert.

b7f7

wenn noch nicht klar ist in welchen Koordinaten X und Y gegeben ist
und ob die projektion senkrecht zur dreiecksebene gesucht ist oder die Projektion senkrecht zu Z der 3D Koordinaten kann man keinen Loesungsweg vorschlagen...

Eho

Ich geh einfach mal davon aus, dass er mit X auch X meint und nicht irgendetwas anderes.

Gary

Du hast das Dreieck ABC.
Jetzt bildest du aus den Vektoren AB und AC das Kreuzprodukt, nennen wir den Kreuzproduktvektor n.
Dann kannst du dir mittels Normalvektorform die Ebene aufstellen, auf der das gegebenen Dreieck liegt:
n * X = n * A
(A ist ja auch element der Ebene)

n (nx|ny|nz)

Das multiplizierst du dann aus und dann erhältst du eine Ebene in der Form:
(nx) x + (ny) y + (nz) z = d

Dann nach Z umformen ist ja dann nicht so schwer:
z = (d - (nx) x - (ny) y) / nz

und schon hast du die z-Koordinate.

WebFritzi

Gut, dass ihr ihm mit "Fachgelaber" kommt, und er keine Ahnung hat, was eure Worte bedeuten. Das nenne ich exzellente Didaktik. WOW!
Hier mal eine kleine Einführung in die analytische Geometrie, mein Freund! Schonmal was von Vektoren gehört? Ein Vektor ist nichts anderes als ein Punkt. Hat drei Koordinaten. Aber ein Punkt ist fest im Raum - ein Vektor nicht. Ein Vektor ist durch seine Richtung und seine Länge bestimmt - nicht durch seine Position. Du kannst dir einen Vektor als Pfeil vorstellen, den du überall hinpacken kannst. Du kannst Vektoren miteinander addieren oder subtrahieren, in dem du einfach die einzelnen Koordinaten addierst bzw. subtrahierst:

(1, 2, 3) + (4, 5, 6) = (5, 7, 9);
(5, 7, 9) - (4, 5, 6) = (1, 2, 3).

Du kannst auch einen Vektor mit einer Zahl multiplizieren:

5 * (1, 2, 3) = (5, 10 ,15).

Angenommen, du hast 2 Punkte a und b im Raum. Wie sieht nun der Vektor aus, der von a auf b zeigt? Die Lösung ist der Vektor b - a. Das wird dir schnell klar, wenn du dir mal 2 Punkte a und b in der Ebene aufmalst, und dann den Vektor b - a.
Wodurch ist nun eine Ebene im Raum definiert? Es gibt da mehrere äquivalente Definitionen. Wir wählen die simpelste: Eine Ebene ist durch 3 Vektoren definiert: einen _Ortsvektor_ (a, b, c) und 2 _Richtungsvektoren_ (y1, y2, y3) und (z1, z2, z3). Jeder Punkt (x1, x2, x3) auf der Ebene ist dann darstellbar als

(x1, x2, x3) = (a, b, c) + r * (y1, y2, y3) + s * (z1, z2, z3),

wobei r und s Zahlen sind. Du kannst dir das so vorstellen, dass du zunächst den Punkt (a, b, c) im Koordinatensystem festsetzt und dann die beiden Richtungsvektoren an diesen Punkt heftest. Man sagt auch, die Ebene werde durch die Richtungsvektoren _aufgespannt_.
Nun zu deinem Dreieck. Sagen wir, du hast die Punkte a, b, c als Eckpunkte gewählt. Alle Punkte liegen in der Ebene, in der das Dreick liegt. Klar! Du wählst dir jetzt einfach einen der 3 Punkte als Ortsvektor. Nehmen wir a. Was sind nun die Richtungsvektoren? Oben hatten wir gesagt, die Richtungsvektoren seien an den Ortsvektor angeheftet. Es liegt also nahe die 2 Vektoren zu wählen, die von a nach b bzw. c gehen. Das wären also die Vektoren b - a und c - a. Zu jedem Punkt p, der in der Ebene liegt, gibt es also Zahlen r und s, so dass

p = a  +  r * (b - a)  +  s * (c - a).

Du hast nun also einen Punkt p auf deinem Dreieck, von dem du nur die x- und y-Koordinate kennst, und die z-Koordinate herausfinden willst. Der Punkt liegt in der Ebene. Also gibt es Zahlen r und s, so dass obige Gleichung gilt. Wenn man sich die Gleichung anschaut, dann fällt einem auf, dass darin wiederum 3 Gleichungen enthalten sind, denn es sind ja alles Vektoren mit 3 Koordinaten. Ganz genau sieht die Gleichung wie folgt aus:

(p1)     (a1)         (b1 - a1)         (c1 - a1)
(p2)  =  (a2)  +  r * (b2 - a2)  +  s * (c2 - a2)
(p3)     (a3)         (b3 - a3)         (c3 - a3).

Dabei sind die Vekoren nicht in der Form (x1, x2, x3) geschrieben, sondern

(x1)
(x2)
(x3).

Aus dieser Vektorgleichung machen wir 3 Gleichungen:

p1     a1  +  r * (b1 - a1)  +  s * (c1 - a1)
p2  =  a2  +  r * (b2 - a2)  +  s * (c2 - a2)
p3     a3  +  r * (b3 - a3)  +  s * (c3 - a3).

Wir suchen also p3 und haben p1 und p2. Wir haben somit 3 Gleichungen und 3 Unbekannte - nämlich r, s und p3. Aus Gründen, die du noch nicht verstehst, ist dieses lineare Gleichungssystem (LGS) eindeutig lösbar. Die ersten beiden Gleichungen enthalten nur 2 Unbekannte, nämlich r und s. Die kannst du also aus diesem 2-dimensionalen LGS ausrechnen. Die Lösungen setzt du dann für r und s in die dritte Gleichung ein und berechnest so deine z-Koordinate.

BEISPIEL:

a = (2, 0, 0), b = (0, 2, 0), c = (0, 0, 2), p1 = 0, p2 = 1.

// Ebenengleichung:
p = a  +  r * (b - a)  +  s * (c - a)

ist das gleiche wie

(p1)     (a1)         (b1 - a1)         (c1 - a1)
(p2)  =  (a2)  +  r * (b2 - a2)  +  s * (c2 - a2)
(p3)     (a3)         (b3 - a3)         (c3 - a3)

Also:

( 0)     (2)         (-2)         (-2)
( 1)  =  (0)  +  r * ( 2)  +  s * ( 0)
(p3)     (0)         ( 0)         ( 2)

Wir nehmen die ersten beiden Gleichungen:

(I)  0 = 2 - 2r - 2s
(II) 1 = 2r

Aus II) folgern wir

r = 0.5

In (I) eingesetzt ergibt das

s = 0.5

Jetzt können wir p3 berechnen:

p3 = 2s = 1.

Der gesuchte Punkt ist also p = (0, 1, 1), und wenn man sich das aufmalt, dann sieht man auch, dass es stimmt.

Frunks

Genau so hab ich's gebraucht, Danke