Gruppentheorie

Wie beweist man, dass für jede Gruppe G und für alle a e G gilt: a^{ord(G)} = 1

a ist in G elementar, also
a € G\{|R+} <=> a+1 € ord{dim G; a;1a;2a;...}
<=> V V.R. <a; ord a; a x ord a}
<=> sin a = sqrt(1 - cos² a) (WAHR)

das ist doch Schwachsinn?

also wir haben's auch so ähnlich gemacht aber der prof hat es mit nem kleinen trick gemacht, auch über nen vektorraum dessen basis orthonormal war... später hat er dann über skalarprodukt bewiesen daß die gruppentheorie gilt!! da kam noch nen pascalsches dreieck vor, als untervektorraum!!

volkard

Anonymous schrieb:

Wie beweist man, dass für jede Gruppe G und für alle a e G gilt: a^{ord(G)} = 1

ich schreib mal alle elemente auf:
a b c d e f g h i j
und jetzt schreib ich genau die gleiche liste, aber multipliziere jedes element mit a.
aa ab ac ad ae af ag ah ai aj

nee, als produkte mal.
p1=a*b*c*d*e*f*g*h*ij
und
p2=aa*ab*ac*ad*ae*af*ag*ah*aiaj

und nur hab ich zwei vermutungen:
-erstens: p1*a^10==p2
denke schon, daß ich die vielen a da umschichten und auf einen haufen werfen kann.
-zweitens: p1==p2
das begründe ich damit, daß das plutimizieren mit a aus der oberen liste nur ne permutation der oberen liste gemacht hat.

rest ist klar. qed.
(nicht sicher, daß es stimmt, fühlt sich aber besser an als addidionstheoreme.)

TriPhoenix

volkard schrieb:

und nur hab ich zwei vermutungen:
-erstens: p1*a^10==p2
denke schon, daß ich die vielen a da umschichten und auf einen haufen werfen kann.

Nur wenn die Gruppe kommutativ ist und das ist nicht immer gegeben

Jester

Hm, es kommt ein bißchen darauf an was Du so alles weißt. Ich nehme hier mal den Satz von Lagrange als bekannt an:

Ist G eine Gruppe und U eine Untergruppe von G, dann folgt ord(U) | ord(G) (| heißt teilt)

Achja und vielleicht sollten wir für Deine Gruppe die ord(G)<oo (unendlich)fordern, sonst haut das nicht hin.

Jetzt nehmen wir uns mal ein beliebiges Element a € G.
Davon betrachten wir die erzeugt (Unter-)Gruppe U:=<a>, für die gilt dann:
ord(U) = ord(a) (a^ord(a) = 1, ord(a) minimal mit dieser Eigenschaft). Mit Lagrange folgt: ord(a) = ord(U) | ord(G), also ord(a) | ord(G).
=> Es ex. m € |N: ord(G) = ord(a)*m

Also gilt:

a^(ord(G)) = a^(ord(a)*m) = (a^(ord(a)))m = e^m = e

Fertig!

P.S.: Was Skalarprodukte und Vektorräume in der Gruppentheorie verloren haben ist mir nicht klar. Und wie man den Cosinus ins Spiel bringen kann leuchtet mir auch nicht so recht ein. Der ist doch nur im reellen bzw. komplexen definiert. Da sind ganz andere Voraussetzungen gegeben. Das eine hat mit dem anderen nichts zu tun.

ok, thx, ich verstehe nur das nicht:

Jester schrieb:

Jetzt nehmen wir uns mal ein beliebiges Element a € G.
Davon betrachten wir die erzeugt (Unter-)Gruppe U:=<a>, für die gilt dann:
ord(U) = ord(a)

1. Was ist die Ordung von einem Element? Dachte das gibt es nur bei Gruppen.

Jester schrieb:

(a^ord(a) = 1, ord(a) minimal mit dieser Eigenschaft).

2. Warum?

Jester

Es gibt mehrere Möglichkeiten die Ordnung eines Elements zu definieren.
Zum Beispiel eben die kleinste Zahl n€N: a^n = 1
Man kann leicht nachprüfen, daß dies genau der Elementanzahl der von a erzeugten zyklischen Gruppe entspricht. Das ist ziemlich elementar.

MfG Jester