Stochastik
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Als mathematisch interessierter Rollenspieler bin ich grade
auf folgenes Problem gestoßen:Gesucht ist das durchschnittliche Ergebnis folgenen Zufallsexperiments
bei einer unendlichen Anzahl von Versuchen:Man werfe zwei sechseitige Würfel und addiere die Augenzahlen. Falls ein
Pasch gefallen ist, werfe man noch einmal, und addiere die Augenzahlen
auf das bisherige Ergebnis. Ist wieder ein Pasch gefallen, würfel man noch
einmal - solange, bis die Würfel unterschiedliche Augenzahlen anzeigen.Bsp (1): Wurf 1: 4 - 5 Ergebis = 9
Bsp (2): Wurf 1: 4 - 4 Wurf 2: 3 - 3 Wurf 3: 1 - 6 Ergebis = 21Wenn man das wiederhohlen des Wurfes bei einem Pasch weglässt, komme ich
ohne weiteres auf das Durschnittsergbis 7. Bei dem eigentlichen Problem
verheddere ich mich in der (unendlichen) rekursivität des Problems. Ich habe
allerdings mit zwei unterschiedlichen Zufallsgeneratoren am Rechner ein Ergebnis
gefunden, dass sich der 8,4 nähert. Wie kann man das ganze mathem. lösen?
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hmm ich hab mal etwas rumprobiert und komme auf 9.8?
Ich hab mir das sogedacht, dass der Durchschnitt von einmal Würfeln 7 ist, wie du ja auch selbst schreibst. Die Wahrscheinlichkeit für eine weitere Runde ist 6/21 (6 verschiedene Paschmöglichkeiten aus 21 ungeordneten Gesamtmöglichkeiten). Beim nächsten Würfeln ist das Durchschnittsergebnis ja wieder 7 und die Wahrscheinlichkeit fürs weiter Würfeln wieder 6/21. Vom Ersten Würfeln aus gesehen wäre das dann 6/21*6/21.
Ich hab das ganze in ne Summenfunktion gepackt (also die das jeweils aufsummiert):
Summe((6/21)^n*7) für n=0 bis unendlich (also (6/21)0*7+(6/21)1*7+(6/21)^2*7+...). n Steht hier für die Würfelrunde... von der nullten angefangen.Keine Ahnung ob das jetzt wirklich richtig ist. Aber da kommt 9.8 raus und das hört sich doch gar nicht so unrealistisch an oder?
MfG
FreigeistEdit: Ups, hab ja das wichtigste vergessen: *7
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Hat sich erledigt, hab eine Lösung gefunden.
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ich war schneller
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freigeist schrieb:
Die Wahrscheinlichkeit für eine weitere Runde ist 6/21 (6 verschiedene Paschmöglichkeiten aus 21 ungeordneten Gesamtmöglichkeiten).
Müssten es nicht 6/36 sein?
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Jan schrieb:
freigeist schrieb:
Die Wahrscheinlichkeit für eine weitere Runde ist 6/21 (6 verschiedene Paschmöglichkeiten aus 21 ungeordneten Gesamtmöglichkeiten).
Müssten es nicht 6/36 sein?
Nein da es ja egal ist ob 1-2 oder 2-1 gewürfelt worden ist, somit gibt es nur folgende Fälle:
1-1,1-2,1-3,1-4,1-5,1-6,2-2,2-3,2-4,2-5,2-6,3-3,3-4,3-5,3-6,4-4,4-5,4-6,5-5,5-6,6-6 = 21 Möglichkeiten
MfG SideWinder
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Jan schrieb:
freigeist schrieb:
Die Wahrscheinlichkeit für eine weitere Runde ist 6/21 (6 verschiedene Paschmöglichkeiten aus 21 ungeordneten Gesamtmöglichkeiten).
Müssten es nicht 6/36 sein?
Korrekt. Es gibt zwar nur 21 Möglichkeiten geordneter(!) Paare, aber die Wahrscheinlichkeit(!) für einen Pasch beträgt 6/36. Ist auch logisch: (1/6)^2 * 6.
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Danke, ich wollts denen auch gerade erklären, aber das hast du ja schon schön gemacht, Marcus!
Für alle, die's nicht glauben wollen, eine Excel-Tabelle hilft!
n w1 w2 pasch? p(pasch) 1 =ABRUNDEN(ZUFALLSZAHL()*6;0)+1 =ABRUNDEN(ZUFALLSZAHL()*6;0)+1 =WENN(B2=C2;1;0) =SUMME($D$2:D2)/A2
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Wenn man die 6/21 in 6/36 ändert, hat freigeist den gelichen Weg gewählt,
den ich auch genommen habe.
Und wenn man berechnet:7 * Summe(1/6^n) für n = 0 bis unendlich kommt man auf
7 * ( 1 + 1/(6-1) ), und das ist tatsächlich = 8,4 .
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Marc++us schrieb:
Jan schrieb:
freigeist schrieb:
Die Wahrscheinlichkeit für eine weitere Runde ist 6/21 (6 verschiedene Paschmöglichkeiten aus 21 ungeordneten Gesamtmöglichkeiten).
Müssten es nicht 6/36 sein?
Korrekt. Es gibt zwar nur 21 Möglichkeiten geordneter(!) Paare, aber die Wahrscheinlichkeit(!) für einen Pasch beträgt 6/36. Ist auch logisch: (1/6)^2 * 6.
Stimmt, an diesem Punkt habe ich länger hin und her überlegt und mich am Ende falsch entschieden.
Trotzdem sind die 21 Möglichkeiten ungeordnet!Mit 6/36 wäre das Ergebnis also 8.4
MfG
FreigeistEdit: war ich wohl diesmal zu langsame
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Nur geringfügig.