LU factored matrix ?

Hi,

meine Lineare Algebra ist etwas eingerostet:
Was versteht man nochmal unter einer LU faktorisierten Matrix?

LU Zerlegung ist auch als LR Zerlegung bekannt.

Für eine quadratische NxN Matrix A, bei der der Gauß-Algorithmus mit Diagonalstrategie durchläuft, gibt es Matrizen L und R, s.d. A = LR.

Dabei ist R eine obere Rechtsdreiecksmatrix und L eine untere Linksdreiecksmatrix.

Hinreichendes Kriterium für die Zerlegung ist z.b. das schwache Zeilensummenkriterium.

Sinnvoll einsetzbar ist die LR Zerlegung, wenn man Gleichungssysteme Ax=b für mehreren rechten Seiten b zu lösen hat. Dann zerlegt man A einmal und kann die entstehenden Dreieckssysteme durch Vorwärts- und Rückwärtseinsetzen schnell für das jeweilige b lösen.

Es ist Ax=b <=> LRx=b.
Setzt man c:=Rx ist zuerst das System Lc=b zu lösen. Danach Rx=c. Fertig.

Übrigens funktioniert die LR Zerlegung eingeschränkt für alle regulären Systeme. Dann bekommt man aber, wenn man im Laufe des Gauß-Algos mit irgendeiner Pivot-Strategie Zeilen tauschen muss, die Zerlegung der Zeilenpermutierten Matrix.
Wenn man sich die Permutation merkt ist das kein Nachteil, da sich an der Lösungsmenge nichts ändert.

Danke, jetzt kommen die Erinnerungen wieder!