mathefrage : dimensionen und untervektorräume

elise

zuerst soll nachgewiesen werden, dass die folgende teilmenge von R3 ein untervektorraum des R3 ist und danach die dimension bestimmt werden.

kann mir jemand die sache mit der dimension erklären, das will heute nicht mehr in meinen kopf.

U = L (G) für folgendes lineares Gleichungssystem

       x  + y + z = 0 
G      2x + y     = 0
            y + z = 0

benutzername

Was ist denn die Definition der Dimension?
Unmathematisch: Eigentlich muss Du doch nur schauen durch welche Punkte das Gleichungssystem geloest wird und ueberpruefen, ob diese auf einer Geraden, einer Ebene oder in einem Raum sind.
Daraus ergibt sich dann 1D, 2D oder eben 3D.

Bashar

Wenn ich mich nicht irre, hat das GLS nur die Triviallösung x=y=z=0, d.h. U = { 0_3 }, welches ein nulldimensionaler Untervektorraum von |R^3 ist.

benutzername

Wenn ich mich nicht irre, hat das GLS nur die Triviallösung x=y=z=0, d.h. U = { 0_3 }, welches ein nulldimensionaler Untervektorraum von |R^3 ist.

Du hast recht! Ich war da ein wenig faul.

elise

danke euch beiden, werde mir morgen nochmal den stoff reinpauken..
manchmal ist es soviel, daß ich den wald vor bäumen nicht mehr sehe...

Jester

Lösungen von homogenen LGS in |R^n sind immer Untervektorräume des |R^n:

Im |R^n sieht ein homogenes LGS so aus:

A*x = 0, wobei A eine nxn-Matrix ist.
0 ist auf jeden Fall ein Lösung, also ist die Lösung nicht leer (0 ist hier der Nullvektor!)

sind jetzt v,w Lösungen und r ein Skalar, also aus R, dann gilt:
r*(v-w) ist ebenfalls wieder Lösung:
A*r*(v-w) = r*A*(v-w) = r*(A*v-A*w) = r*(0+0) = 0
also ist das Untervektorraum-Kriterium erfüllt.

Jetzt zur Dimension:
Die Dimension ist definiert als Anzahl der Elemente in einer Basis.
Zur Bestimmung kann man also einfach eine beliebige Basis finden (also LGS lösen) und dann schauen wieviele Vektoren die Basis enthält.

Für den obigen Fall gestaltet sich das natürlich alles etwas einfacher.

MfG Jester

elise

thx, jester

hätte ich doch dein mathewissen, vor allem anfang februar brauche ich es dann mal für einen tag... vielleicht über nen chip in meinen kopf verpflanzt.
oder so...