Linearfaktorzerlegung?
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hi,
kann mir jemand die linearfaktorzerlegung anhand des beispiels:
x^4 - 6x^2 - 8x - 3
erklären?
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Linearfaktorzerlegungsfindung ist nichts anderes als Nullstellenfindung. Wir finden die erste durch Probieren. Probier...probier... aha! -1 ist eine. Schön, dann mal los ran an die Polynomdivision (ich weiß, dir graut, aber sooo schwer ist es nicht). Man macht das wie schriftliche Division. Wir nennen im Folgenden dein Polynom p. D.h., p(x) = x4 - 6x2 - 8x - 3. Man schreibt zuerst einmal:
(x[h]4[/h] - 6x[h]2[/h] - 8x - 3) : (x+1) = ...Ist q(x) nämlich ein Polynom und a eine Nullstelle, dann ist q(x) teilbar durch das lineare Polynom x-a. In diesem Falle ist a=-1 eine Nullstelle von p(x). Also ist p(x) teilbar durch x-(-1), was das gleiche ist wie x+1.
Zurück zur Polynomdivision. Wir nehmen uns x4 vor und teilen es durch das erste x^n in x+1. Das ist x. Heraus kommt x3. Das schreiben wir hin:(x[h]4[/h] - 6x[h]2[/h] - 8x - 3) : (x+1) = x[h]3[/h]Jetzt multiplizieren wir zurück. Wir berechnen x3 * (x+1). x3*x ist x4, was wir schon hatten. Jetzt multiplizieren wir aber noch mit 1, also x3 * 1 = x3. Das sieht dann so aus:
( x^4 + 0*x^3 - 6x^2 - 8x - 3) : (x+1) = x^3 -(x^4 + x^3) ------------- .............Ich habe absichtlich das "0*" vor das x^3 in der oberen Zeile geschrieben, denn nun subtrahieren wir. Und bei der Polynomdivision muss man ganz besonders darauf achten, dass man beim Subtrahieren nur x^n's mit den gleichen Exponenten voneinander abzieht. Nun denn was kommt heraus bei (x^4 + 0*x^3) - (x^4 + x^3) ? Natürlich -x^3. Das schreiben wir auch hin:
( x^4 + 0*x^3 - 6x^2 - 8x - 3) : (x+1) = x^3 -(x^4 + x^3) ------------- -x^3Nun ziehen wir das nächste x^n runter. Eben hatten wir x^3, dann kommt jetzt x^2 dran, also:
( x^4 + 0*x^3 - 6x^2 - 8x - 3) : (x+1) = x^3 -(x^4 + x^3) ---------------------- -x^3 - 6x^2Nun teilen wir wieder durch (x+1). Heraus kommt rechts -x^2, denn wir teilen nur -x^3 durch x. Immer die höchsten. Das Ergebnis schreiben wir hinter das x^3, welches dort schon steht:
( x^4 + 0*x^3 - 6x^2 - 8x - 3) : (x+1) = x^3 - x^2 -(x^4 + x^3) ---------------------- -x^3 - 6x^2Jetzt multiplizieren wir wieder zurück, also -x^2 * (x+1). Wir erhalten
( x^4 + 0*x^3 - 6x^2 - 8x - 3) : (x+1) = x^3 - x^2 -(x^4 + x^3) ---------------------- -x^3 - 6x^2 -(-x^3 - x^2) ---------------Beim Subtrahieren lösen wir (-x^3 - 6x^2) - (-x^3 - x^2) = -5x^2 und ziehen wieder -8x von oben herunter:
( x^4 + 0*x^3 - 6x^2 - 8x - 3) : (x+1) = x^3 - x^2 -(x^4 + x^3) ---------------------- -x^3 - 6x^2 -(-x^3 - x^2) ------------------- - 5x^2 - 8xWieder dividieren:
( x^4 + 0*x^3 - 6x^2 - 8x - 3) : (x+1) = x^3 - x^2 -5x -(x^4 + x^3) ---------------------- -x^3 - 6x^2 -(-x^3 - x^2) ------------------- - 5x^2 - 8xZurückmultiplizieren, subtrahieren und herunterholen:
( x^4 + 0*x^3 - 6x^2 - 8x - 3) : (x+1) = x^3 - x^2 -5x -(x^4 + x^3) ---------------------- -x^3 - 6x^2 -(-x^3 - x^2) ------------------- - 5x^2 - 8x -(- 5x^2 - 5x) ----------------- - 3x -3Dividieren, zurückmultiplizieren, subtrahieren:
( x^4 + 0*x^3 - 6x^2 - 8x - 3) : (x+1) = x^3 - x^2 - 5x - 3 -(x^4 + x^3) ---------------------- -x^3 - 6x^2 -(-x^3 - x^2) ------------------- - 5x^2 - 8x -(- 5x^2 - 5x) ----------------- - 3x -3 -(- 3x -3) ---------- 0Fertig!
OK, betrachten wir uns 6:2 = 3. Das bedeutet doch auch zurückgelesen, dass 6 = 3 * 2 ist. Genauso ist es hier auch:( x^4 + 0*x^3 - 6x^2 - 8x - 3) = (x+1) * (x^3 - x^2 - 5x - 3)Das war der erste Schritt zur Linearfaktorisierung. Das gleiche machst du nun mit dem neuen Polynom x^3 - x^2 - 5x - 3. Durch Probieren erhalten wir wieder, dass -1 auch von diesem Polynom eine Nullstelle ist. Wir beginnen die erneute Polynomdivision also so:
( x^3 - x^2 - 5x - 3 ) : (x+1) = x^2 ...Zurückmultiplizieren, Subtrahieren und Herunterholen:
( x^3 - x^2 - 5x - 3 ) : (x+1) = x^2 ... -(x^3 + x^2) ---------------- -2x^2 - 5xUsw. Am Ende sieht's so aus:
( x^3 - x^2 - 5x - 3 ) : (x+1) = x^2 - 2x - 3 -(x^3 + x^2) ---------------- -2x^2 - 5x -(-2x^2 - 2x) ---------------- - 3x - 3 -(- 3x - 3) ----------- 0Also ist
( x^3 - x^2 - 5x - 3 ) = (x+1) * (x^2 - 2x - 3)Und
x^4 + 0*x^3 - 6x^2 - 8x - 3 = (x+1) * (x^3 - x^2 - 5x - 3) = (x+1) * (x+1) * (x^2 - 2x - 3) = (x+1)[h]2[/h] * (x^2 - 2x - 3)Die Nullstellen von x^2 - 2x - 3 kann man mithilfe der p-q-Formel finden. Diese sind -1 (mal wieder) und 3. Also ist
x^2 - 2x - 3 = (x+1) * (x-3)Und insgesamt:
x^4 + 0*x^3 - 6x^2 - 8x - 3 = (x+1)[h]2[/h] * (x^2 - 2x - 3) = (x+1)[h]2[/h] * (x+1) * (x-3) = (x+1)[h]3[/h] * (x-3)
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Dem ist nicht mehr viel Hinzuzufügen.
Es gibt übrigens auch Verfahren zur Findung von Nullstellen von Polynomen 3. und 4. Grades (Cardano-Formeln), aber die werden selten benutzt. Für schulische Probleme ist es meist einfacher einfach eine Nullstelle zu raten und dann abzuspalten.
Weiterhin hat auch nicht jedes Polynom eine Nullstelle in R. Zum Beispiel
x^2+1=0 hat keine Nullstelle in R. In C (den komplexen Zahlen) hingegen zerfällt jedes Polynom in Linearfaktoren.Leider ist es bei Polynomen mit Grad >= 5 nicht mehr zwangsläufig möglich die Nullstellen mit Hilfe von +-*/ und √ aus Bruchzahlen darzustellen. Hier gibt es sozusagen günstige und ungünstige Fälle.