4. wo ist die funktion stetig?

wo ist die funktion stetig?

  • A

    hallo,
    ich hab hier eine aufgabe bei der Ich die Stetigkeits-/Unstetigkeitsstellen einer Funktion bestimmen soll:

    f(x)=0 falls x irrational
    f(x)=1/q falls x in der Form p/q, wobei p und q teilerfremd, ganze zahlen und q>0
    (f(0)=1)

    zuerst dachte ich mir, dass so eine bescheuerte funktion ja nur unstetig sein kann. Aber nach lägerem überlegen glaube ich nun, dass sie an den irrationalen stellen vieleicht doch stetig sein könnte. Ich kanns nur nicht beweisen. Hat jemand eine Idee wie man das machen könnte?

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  • S

    Ich wuerde sagen, die Funktion ist ueberall unstetig. Kriegt man ziemlich einfach mit dem Folgenkriterium raus. Du kannst ja jede Reelle Zahl als "Grenzwert" (wie war noch das richtige Wort?) einer Intervallschachtelung rationaler Zahlen darstellen.

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  • A

    also das sie an den rationalen Stellen unstetig ist, das ist klar.
    Und ich bin mir jetzt auch ziemlich sicher, dass sie an den irrationalen Stellen stetig ist.

    Du kannst ja jede Reelle Zahl als "Grenzwert" (wie war noch das richtige Wort?) einer Intervallschachtelung rationaler Zahlen darstellen.

    Kann man machen, ich sehe allerdings nicht wieso die Funktion deshalb überall unstetig sein soll.

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  • ?

    Bin mir zwar auch nicht ganz sicher, glaube aber das du Recht hast.
    Ich meine das Argument war, dass die irrationalen Zahlen dicht in R liegen.

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  • B

    Jockelx schrieb:

    dass die irrationalen Zahlen dicht in R liegen.

    Was heißt das?

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  • D

    Jockelx schrieb:

    Bin mir zwar auch nicht ganz sicher, glaube aber das du Recht hast.
    Ich meine das Argument war, dass die irrationalen Zahlen dicht in R liegen.

    Nein. Zwischen zwei unterschiedlichen irrationalen Zahlen, liegen unendlich viele rationale.

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  • ?

    Nein. Zwischen zwei unterschiedlichen irrationalen Zahlen, liegen unendlich viele rationale.

    Das ist zwar schön und richtig, hat aber mit meiner Aussage nichts zu tun.

    Zwischen zwei unterschiedlichen irrationalen Zahlen, liegen unendlich viele irrationale Zahlen. Deshalb liegen Sie dicht in R.

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  • D

    Jockelx schrieb:

    Nein. Zwischen zwei unterschiedlichen irrationalen Zahlen, liegen unendlich viele rationale.

    Das ist zwar schön und richtig, hat aber mit meiner Aussage nichts zu tun.

    Nein. Wenn meine Aussage richtig ist, dann kann Abbadon nicht recht haben. Und um nichts anderes ging's.

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  • ?

    Okay,
    ich dachte du wolltest damit sagen, dass Q/R nicht dicht in R liegt.
    Weshalb hast du mich auch sonst zitiert?
    Egal, stellt sich nach wie vor die Frage, warum sich aus deiner Aussage

    Zwischen zwei unterschiedlichen irrationalen Zahlen, liegen unendlich viele rationale.

    die Unstetigkeit für irrationale Stellen ableiten lässt?

    Jockel

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  • A

    Nein. Wenn meine Aussage richtig ist, dann kann Abbadon nicht recht haben. Und um nichts anderes ging's.

    Es ist schon richtig, dass |Q dicht in |R liegt. Trotzdem habe ich glaube ich recht. Denn je näher man mit einer rationalen Zahl an die Irrationale Zahl "herankommt", desto größer ist der Nenner, der Funktionswert strebt also gegen 0.

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  • B

    Aber während du dich von einer rationalen Zahl zur "nächsten" hangelst, wirst du immer wieder unendlich viele irrationale Zahlen überschreiten.

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  • ?

    Ich bleib auch dabei, dass f an irrationalen Stellen stetig ist.
    Ist das eigentlich so gewollt, dass f für x aus Z nicht definiert ist?

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  • A

    wieso? ist doch für x aus Z definiert, wenn man "teilerfremd" sinvoll definiert

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  • ?

    Jau, hatte nen Brett vorm Kopf.

    Trotzdem noch ne Frage:
    Wäre f(0) = 0 nicht besser?
    Dann wäre das nämlich auch noch eine interessante Stelle.

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  • B

    Ich seh noch nicht, dass die Grenzwerte an den irrationalen Stellen existieren.

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  • J

    Such Dir ne irrationale Zahl aus, nennen wir sie x. Jetzt kästeln wir diese mal ein. Und zwar mit dem Nenner p. Dann kriegen k/p <= x <= k+1/p
    Jetzt können wir genauer schachteln, aber um das zu machen müssen wir den Nenner erhöhen. Dazwischen liegen nämlich nur noch Zahlen, die einen Nenner > p haben. Das können wir jetzt immer wieder machen, z.B. durch Intervallschachtelung. Damit muß der Nenner gegen unendlich gehen. Und weil die Folge gegen x konvergiert, muß sie ab einer bestimmten Stelle in jedem von uns vorgegeben Intervall obiger Bauart enthalten sein. Also muß auch deren Nenner gegen unendlich gehen. Also geht der Funktionswert gegen 0.

    MfG Jester

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  • A

    ok, meine Beweisidee:
    Def von Stetigkeit:
    zu jedem epsilon>0 ex. ein delta>0 so dass gilt |x-x0|<delta => |f(x)-f(x0)|<epsilon

    In einer Umgebung um x0 existieren nur endlich viele x mit f(x) > epsilon (ist eigentlich offensichtlich), wähle delta nun so, dass alle diese x ausserhalb der delta-Umgebung um x0 liegen. So kann ich zu jedem epsilon ein delta finden.

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  • J

    Naja, das sieht jetzt nicht wirklich wie ein Beweis aus, der einzige Bezug, den Du zur Aufgabe herstellst ist ein: "offensichtlich"...

    Ich würds eher mit

    f stetig in x0 <=> für alle Folgen (x_n) mit lim x_n = x0 gilt: lim f(x_n) = f(x0)

    MfG Jester

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  • W

    Also, ich würd's so machen: Sei x0 eine irrationale Zahl und (xn) eine Folge, die gegen x0 konvergiert. Die irrationalen Zahlen in dieser Folge sind eh uninteressant, da, wenn xn irrational f(x0) - f(xn) = 0 - 0 = 0 < epsilon für jedes epsilon > 0. Wir nehmen also an, unsere Folge bestünde nur aus rationalen Zahlen:
    x_n=p_nqnx\_n = \frac{p\_n}{q_n}
    mit teilerfremden pn und qn. Wäre nun die Folge (qn) beschränkt, dann wäre auch (pn) beschränkt, denn aus |qn| < K folgt:
    ∣p_n∣K<∣p_nq_n∣=∣x_n∣,\frac{|p\_n|}{K} < |\frac{p\_n}{q\_n}| = |x\_n|\,,
    also |pn| < K * |xn|, und (xn) ist als konvergente Folge beschränkt. Sind also (pn) und (qn) beschränkt, dann gibt es nur endlich viele Werte, die xn annimmt (pn und qn sind ganze Zahlen). Dann gibt es also ein N aus |N, so dass
    x_0=p_NqN,x\_0 = \frac{p\_N}{q_N}\,,
    was ein Widerspruch wäre, denn wir hatten x0 als irrational angenommen. (qn) ist somit nicht beschränkt. Das kann man auch für jede Teilfolge von (qn) machen ==>

    (*) Keine Teilfolge von (qn) ist beschränkt!

    Ist nun ε>0\varepsilon > 0 gegeben, dann gibt es ein N∈NN\in\mathbf{N}, so dass
    1∣qn∣<ε\frac{1}{|q_n|} < \varepsilon
    für alle n > N, denn gäbe es solch ein N nicht, dann wäre
    1∣qn∣≥ε\frac{1}{|q_n|} \ge \varepsilon
    bzw.
    ∣qn∣≤1/ε|q_n| \le 1/\varepsilon
    für unendlich viele n aus |N, was (*) widerspräche. Insgesamt folgt
    f(x_n)=f(p_nq_n)=1q_n⟶0=f(x0),f(x\_n) = f(\frac{p\_n}{q\_n}) = \frac{1}{q\_n} \longrightarrow 0 = f(x_0)\,,
    was die Stetigkeit von f in x0x_0 zeigt.

    Abbadon schrieb:

    In einer Umgebung um x0 existieren nur endlich viele x mit f(x) > epsilon (ist eigentlich offensichtlich)

    Wenn es für dich so offensichtlich ist, dann wird es für dich wohl kein Problem sein, das schnell zu beweisen, oder?

    @Jester: Formuliere deine Sätze zu Ende! 😉

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  • J

    WebFritzi schrieb:

    @Jester: Formuliere deine Sätze zu Ende! 😉

    da fällt mir nur folgendes ein:

    Das Ende einer Doppelbegabung,
    von ihr selbst erzählt.

    Ich war ein ein großer Maler und Dichter.
    Doch nach einiger Zeit mochte ich kein Bild mehr zu Ende malen,
    und kurz darauf auch keinen Satz mehr zu Ende schrei

    btw.: schöner Beweis

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