Warum funktioniert das Determinantenverfahren für LGS überhaupt?

Warum funktioniert eigentlich das Determinantenverfahren zum Lösen von linearen Gleichungssystemen? Ich weiß wie man es anwendet, aber nicht warum die richtige Lösung herauskommt.

Gehen wir mal vom einfachsten Fall aus, zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten:
3x + 4y = 51
2x + 6y = 64

x wäre dann z.B.
x = (51 * 6 - 64 * 4) / (3 * 6 - 2 * 4)

Warum?

Falls es jemand erklären will, dann bitte in Worten die ein Dreijähriger versteht.

Das Kind im Manne schrieb:

Falls es jemand erklären will, dann bitte in Worten die ein Dreijähriger versteht.

Was sagt man zu dreijährigen Kindern? Das ist halt so.

Maxi

in diesem fall kannst dus noch gut per hand ausrechnen: Setz anstatt konkreter Koeffizienten Variablen ein und stelle dasw LGS nach x bzw. y um. Kommt genau die Formel für die Determinante raus

Hallo,

siehe Adjunktenregel. Die interessante mathematik dahinter ist, dass die Determinante eine alternierende Multilinearform ist. Das kann man ausnutzen um das Inverse einer Matrix über die Determinante der Matrix und die Determinanten der Matrix mit je einer gestrichenen Zeile und Spalte ausdrücken. Und im 2x2-Fall sind letzteres einfach die jeweiligen Einträge.

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Das mag jetzt kompliziert klingen, aber du kannst das als (begabter) viertklässler verstehen; Die wichtigen dinge sind:

a) wie eine Matrixmultiplikation aussieht (anschauen, immer nützlich)
b) was die Inverse einer Matrix ist (anschauen, immer nützlich) und was es mit deiner Frage zu tun hat
c) was eine Determinante ist (anschauen, ... u.s.w)
d) dass die Determinante eine normierte alternierende Multilinearform ist.
Das klingt zwar komisch, ist aber so. Der Name mag erschreckend klingen, beschreibt aber wieder nur drei einfache tatsachen:
d.1) wenn man zwei spalten einer matrix vertauscht, wechselt die matrix das vorzeichen
d.2) wenn man eine spalte mit F multipliziert, multipliziert sich auch die Determinante
d.3) ... unwichtig (so weit ich mich erinnern kann)
d.4) die Determinante der Einheitsmatrix ist eins (das weißt du schon... juhu)

Bitte ein Bit

@Das Kind im Manne
Ich gehe mal einfach davon aus dass du noch keine so tieferlegende Kenntnisse hast.

LGS:
1.) 3x + 4y = 51
2.) 2x + 6y = 64

Regeln:
a.) Gleichungen dürfen auf beiden Seiten mit einem Faktor multiplziert/dividiert werden ohne dass sich an ihrer Gültigkeit etwas ändert.
b.) Gleichungen dürfen auf beiden Seiten mit einem Wert addiert/subtrahiert werden ohne dass sich an ihrer Gültigkeit etwas ändert.

Ich kann also das LGS so umformen:

2. Gleichung mal 3/2 (Regel a)

1.) 3x + 4y = 51
2.) (2x + 6y)* 3/2 = 64 * 3/2

=>

1.) 3x + 4y = 51
2.) 3x + 9y = 96

1. Gleichung 96 abziehen (Regel b)

1.) (3x + 4y) - 96 = 51 - 96
2.) 3x + 9y = 96

Und hier kommt der Trick. Man ersetzt auf das linke 96 aus Gleichung 1 durch (3x + 9y). Denn dass sagt ja genau Gleichung 2 aus: 96 = (3x + 9y)

1.) (3x + 4y) - (3x + 9y) = -44
2.) 3x + 9y = 96

=>

1.) -5y = -44
2.) 3x + 9y = 96

Damit dann die 2. Gleichung wieder in ürsprünglicher Form dasteht, mulipliziert man diese wieder mit 2/3

1.) -5y = -44
2.) 2x + 6y = 64

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War das einfach genug ?

der einfachste Beweis, den ich kenne geht so:

Sei A*x = b mit eindeutiger Lösung x und allgemein a^j die j-te Spalte von A.

Sei i fest.

Dann gilt

$\sum\_j x\_j\cdot a^j = b$

und, was dasselbe ist,

$\sum_{j\neq i} x\_j\cdot a^j + 1\cdot(x\_i\cdot a^i- b)=0$

Jetzt wendet man die Determinante auf diese Spalten an. Das Ergebnis ist 0, weil
linear abhängige Spalten die det 0 haben:

$\det(a^1, \ldots, a^{i-1},x_i\cdot a^i-b,a^{i+1},\ldots,a^n)=0$

Determinante ist multilinear, also insbesondere linear im i-ten Argument:

$x_i\cdot\det(A)-\det(a^1, \ldots,b,a^{i+1},\ldots,a^n)=0$

Auflösen nach x_i:

$x_i=\frac{\det(a^1, \ldots,b,a^{i+1},\ldots,a^n)}{\det(A)}$

*john 0

Das Kind im Manne schrieb:

Warum?

Dafür gibt es Bücher über Lineare Algebra, in denen explizit alles bewiesen wird.

da steht auch kein kürzerer Beweis drin als der (im Wesentlichen) 2-Zeiler, den ich hier erwähnt habe.