4. [DiffGl] Abkühlungsgesetz von Newton

[DiffGl] Abkühlungsgesetz von Newton

  • S

    Danke erstmal. Aber du scheinst das ja mehr mit "Feeling" und Probieren herausgefunden zu haben. Wir sollen das aber mit Integrieren schaffen und da taucht bei mir jetzt ein Problem auf:

    dT
-- = - k * (T - T[t]1[/t])
dt

// Variablentrennung jetzt möglich weil d[e]Delta[/e]T ja doch dT ist:
 dT
--- = -k * dt
(T-T[t]1[/t])

// Integrieren:
ln(T-T[t]1[/t]) = -kt + ln(C)

// Entlogarithmieren:
T-T[t]1[/t] = e[h]-kt[/h] + C

// Ergibt:
T = T[t]1[/t] + e[h]-kt[/h] + C

    Das wär schön und gut wenn nicht laut Internet folgendes Ergebnis richtig ist:

    T = T[t]Env[/t] + (T[t]Anf[/t] - T[t]Env[/t])*e[h]-kt[/h]

    Wo liegt mein Fehler? Oder ist dieser zusätzliche Ausdruck bei mir in C verpackt? TEnv ist ja mein T1, aber ein TAnf taucht bei mir nicht mehr auf?!

    BTW: Was ist an Variablentrennung so schlecht? Wir benützen das andauernd 😞

    MfG SideWinder

    0
  • S

    du hast summandenweise potenziert... und das problem mit der integrationskonstanten löst such später wie gehabt mit der gegebenen nebenbedingung.

    0
  • C
    Mod

    SideWinder schrieb:

    [...]
// Integrieren:
ln(T-T[t]1[/t]) = -kt + ln(C)

// Entlogarithmieren:
T-T[t]1[/t] = e[h]-kt[/h] + C

    Müsste das nicht so lauten:
    T−T1=e−kt⋅CT - T_1 = e^{-kt} \cdot C
    da e−kt+lnC=e−kt⋅Ce^{-kt + \ln C} = e^{-kt} \cdot C ist?

    Deine Anfangsbedingung steckt dann im C.

    SideWinder schrieb:

    BTW: Was ist an Variablentrennung so schlecht? Wir benützen das andauernd 😞

    Ich finde es etwas unsauber, "dt" wie eine Variable zu behandeln und damit zu multiplizieren. Dass es dennoch oft funktioniert, steht außer Frage. 🙂

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  • S

    Omg, natürlich gehört da ein * statt einem + - Schande über mich 🙂

    Thx an alle Beteiligten 🙂👍

    MfG SideWinder

    0
  • W

    Christoph schrieb:

    SideWinder schrieb:

    BTW: Was ist an Variablentrennung so schlecht? Wir benützen das andauernd 😞

    Ich finde es etwas unsauber, "dt" wie eine Variable zu behandeln und damit zu multiplizieren. Dass es dennoch oft funktioniert, steht außer Frage. 🙂

    Kannst du denn einen vergleichbaren Fall nennen in dem das rüberholen von dt Probleme bereiten könnte?

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  • P

    die schreibweise mit dem "dt rueberholen" mag unsauber sein, aber man kann das auch vernuenftig aufschreiben. an der methode "trennung d. variablen" ist an sich nichts schlechtes.

    0
  • C
    Mod

    Walli schrieb:

    Christoph schrieb:

    SideWinder schrieb:

    BTW: Was ist an Variablentrennung so schlecht? Wir benützen das andauernd 😞

    Ich finde es etwas unsauber, "dt" wie eine Variable zu behandeln und damit zu multiplizieren. Dass es dennoch oft funktioniert, steht außer Frage. 🙂

    Kannst du denn einen vergleichbaren Fall nennen in dem das rüberholen von dt Probleme bereiten könnte?

    Gegeben ist die DGL
    f′(t)=f′′(t)f'(t) = f''(t).
    Die allgemeine Lösung ist f(t)=C_1+C_2etf(t) = C\_1 + C\_2 e^t.

    Aber jetzt mal ganz unsauber mit der obigen Methode gerechnet. Zuerst einmal schreiben wir die DGL mit dt:
    dfdt=d2fdt2\frac{df}{dt} = \frac{d^2 f}{dt^2}
    Jetzt multiplizieren wir mit dt durch:
    df=d2fdtdf = \frac{d^2f}{dt}
    Und teilen durch d:
    f=dfdtf = \frac{df}{dt}
    Ab hier ist klar, dass wir nur noch folgende Lösung erhalten werden:
    f(t)=Cetf(t) = C e^t
    Das heißt, wir erhalten nicht sämtliche Lösungen der oben genannten Differentialgleichung.

    Möglicherweise ist mir auch ein anderer Fehler unterlaufen, aber ich habe versucht, mich möglichst eng an die "d, dt etc. sind Variablen"-Regel zu halten.

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  • P

    also durch d dividieren hat keiner gesagt und ist voelliger unsinn. so wirst du ja jede ableitung los.

    0
  • C
    Mod

    PeterTheMaster schrieb:

    also durch d dividieren hat keiner gesagt und ist voelliger unsinn. so wirst du ja jede ableitung los.

    Gut, anderes Beispiel:

    Gegeben ist die DGL:
    f′(t)=(f′(t))2f'(t) = (f'(t))^2
    In df/dt-Notation:
    dfdt=(dfdt)2=(df)2(dt)2\frac{df}{dt} = \left(\frac{df}{dt}\right)^2 = \frac{(df)^2}{(dt)^2}
    Durch dfdt\frac{df}{dt} teilen (angenommen dfdt≠0\frac{df}{dt} \neq 0, siehe *):
    1=dfdt1 = \frac{df}{dt}
    Wieder erhält man nur "eine" Lösung:
    f(t)=t+Cf(t) = t + C
    Es gibt aber eine weitere Lösungsmenge:
    f(t)=Cf(t) = C (immer mit C∈RC \in \mathbb R, wie üblich).

    Nachtrag 1: Ich habe leider gerade keine exakte Definition des Begriffs "Differentialgleichung" griffbereit. Vielleicht ist das gar keine DGL, weil f(0)f^{(0)} nicht vorkommt. Ich vermute aber eher, dass der Begriff DGL allgemein genug definiert ist.

    * (Nachtrag 2): Beachtet man den Fall dfdt=0\frac{df}{dt} = 0, so findet man natürlich alle Lösungen.

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  • P

    wieder am thema vorbei, hier ist das problem lediglich, dass du die aequivalenzumformung falsch gemacht hast, es gilt nicht x=x^2<=>1=x, fallunterscheidung wegen division durch 0 ist vonnoeten.

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  • C
    Mod

    PeterTheMaster schrieb:

    wieder am thema vorbei, hier ist das problem lediglich, dass du die aequivalenzumformung falsch gemacht hast, es gilt nicht x=x^2<=>1=x, fallunterscheidung wegen division durch 0 ist vonnoeten.

    Autsch, stimmt. So ein dummer Fehler. 😞

    Nagut, inzwischen vermute ich, dass diese Variante funktioniert, wenn auf der einen Seite der DGL nur f und auf der anderen nur f' auftaucht bzw. es sich dahin umformen lässt.

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