Stochastikaufgabe

Aufgabe:
Über den Inhalt einer Urne ist bekannt, dass entweder 25% oder 50% aller Kugeln schwarz sind. Die Nullhypothese H: p=0.25 soll mit 80 Ziehungen mit Zurücklegen getestet werden. Wie ist der Ablehnungsbereich zu wählen, damit beide Risiken etwa gleich groß sind?

Wie geht sowas?
Mir ist klar, ich muss den Annahmeberech und die Ablehungsbereiche allgemein Ausdrücken und deren Wahrscheinlichkeiten mit der PHI Funktion bestimmen (natürlich allgemein!) und diese dann gleichsetzen, um so das Signifikanzniveau zu errechnen. Und damit dann die Ablehungsbereiche. Aber nach dem Gleichsetzen der Wahrscheinlichkeiten bleiben bei mir einfach nur viele PHI(blabla) über. Ich weis nicht wie ich weiter vereinfachen soll.
Hat jemandn Tip?

Daniel E.

Erst mal teilst Du den möglichen Wahrscheinlichkeitsbereich in zwei Teile:

Falls der Test eine Anzahl an schwarzen Kugeln liefert, die kleiner als X_Grenz ist, dann wird angenommen, es liege eine Urne mit 25% Schwarzanteil vor (Bereich 1, Annahmebereich), falls die Anzahl größer X_Grenz, dann nehmen wir an, die Urne hätte 50% (Bereich 2, Ablehnungsbereich).

Die Wahrscheinlichkeit, bei 80 Zügen k schwarze Kugeln zu ziehen, wenn 25% schwarz sind, ist bekanntlich P(k) = (80 über k) 25%^k 75%^(80-k).

P(x <= X_G) ist also die Summe über alle diese p(k) von 0 bis X_G und stellt Bereich 1 von oben dar.

P(x > X_G) = 1-P(x<=X_G) ist die verbleibende Wahrscheinlichkeit dafür, daß Bereich 2 ausgewählt wird (Ablehnung der Nullhypothese).

Jetzt sollen "beide Bereiche etwa gleich groß" gewählt werden, was wohl bedeuten soll, daß beide mit 50% getroffen werden.

Also P(x <= X_G) = P(x > X_G) = 1-P(x<=X_G), bzw. P(x <= X_G) = 0,5

Jetzt nimmt man entweder einen Computer und rechnet Summe von k=0 ... X_G über P(k) = ca. 50% aus, oder man guckt, ob man die kumulative Verteilungsfunktion für Binominalkram irgendwo tabelliert hat.