Taylor Polynom berechnen

[hoecker, sie sind raus!]

matimatiker schrieb:

das ist für die entwicklungsstelle $x_0=0$ nicht der fall.

ja wieso das denn?

[Jover]

Die Funktion ist ganz sicher $\infty$ oft differentierbar.

[matimatiker]

sorry, war ein denkfehler von mir habe zuerst 0 eingesetzt dann abgeleitet.

[stsa]

http://www.cfd.tu-berlin.de/Lehre/tfd_skript/node11.html

[Hoecker]

Ich hab' jetzt nicht die große Ahnung von Taylor, aber kannst du nicht die Taylorreihe von $\sqrt x$ an der stelle $x_0 = 2$nehmen, und in die $x^{10}$ reinpacken?

[dot]

Ich möchte mit der Taylorreihe ja auf die Ableitungen an der Stelle 0 kommen.

wo liegt das problem $\sqrt{2+x^{10}}$ abzuleiten?

$\left (\sqrt{2+x^{10}} \right )^\prime = \left ( \left (2+x^{10} \right )^{\frac{1}{2}} \right )^\prime = \frac{1}{2} \cdot \left (2+x^{10} \right )^{-\frac{1}{2}} \cdot 10 \cdot x^9 = \frac{5 \cdot x^9}{\sqrt{2+x^{10}}}$

[Hoecker]

dot schrieb:

wo liegt das problem $\sqrt{2+x^{10}}$ abzuleiten?

und jetzt bitte die n-te ableitung.

[Jover]

Ich möchte aber wenn möglich die Funktion als Potenzreihe darstellen um dann die Taylorkoeffizienten zu bekommen.

[Daniel E.]

Hoecker schrieb:

dot schrieb:

wo liegt das problem $\sqrt{2+x^{10}}$ abzuleiten?

und jetzt bitte die n-te ableitung.

Es interessieren nur die Ableitungen an der Stelle x=0, und die sollten sich recht leicht bestimmen lassen, es bleiben ja nur jeweils vielfache der 10-ten Ableitung stehen (also die Potenzen x^10, x^20, x^30 usw.). Die Spielregel für die Koeffizienten herauszufinden sollte nicht so kompliziert sein ...

[dot]

so ist es. schlimmsten falles müsste er 10 mal ableiten.

[Jover]

Ich hab jetzt die Lösung die ich wollte und muss sagen, dass die mir sehr gefällt.

Werde sie morgen dann posten.

[SideWinder]

Jover schrieb:

Ich hab jetzt die Lösung die ich wollte und muss sagen, dass die mir sehr gefällt.

Werde sie morgen dann posten.

Würde mich interessieren, bitte nicht vergessen. Wir haben am Mittwoch unsere Arbeit

MfG SideWinder

[Jover]

f(x)&=&\sqrt{2+x^{10}}=\sqrt{2}\cdot\sqrt{1+\frac{x^{10}}{2}}\\ &=&\sqrt{2}\cdot\sum_{n=0}^{\infty}{{\frac{1}{2}\choose n}\left(\frac{x^{10}}{2}\right)^n}

daraus folgt:
$\frac{f^{10n}(0)}{10n!} = {\frac{1}{2} \choose n}\frac{\sqrt{2}}{2^n}$
Damit kannst du dann die Ableitungen an der Stelle 0 ermitteln.

[borg]

@Jover: habt ihr in der schule schon die gamma-funktion behandelt oder wie habt ihr $\frac{1}{2} \choose n$ definiert?

[Jover]

$a\in\mathbb{R}$ und $k\in\mathbb{N}$
Dann ist ${a \choose k} = \frac{1}{k!}\prod_{i=1}^{k}{(a+1-i)}$

Die Gamma-Funktion haben wir in der Schule nicht durchgenommen.
Dafür im Studium.

[borg]

Jover schrieb:

Die Gamma-Funktion haben wir in der Schule nicht durchgenommen.
Dafür im Studium.

achso, ich dachte es wäre für die schule man kann das auch mit der gamma funktion definieren