Gleichmässig und Lipschitz stetig

Wie kann ich mir glm. Stetigkeit vorstellen? Zum Beispiel wie kann man an einem Graphen erkennen ob eine Funktion glm. stetig ist oder nicht?

Einfache Stetigkeit lässt sich recht leicht als Funktion welche "aus einem Strich" besteht vorstellen. Bei mehreren Variablen ist es ein "glattes Gebirge". Bei Kurven ist es wieder das "aus einem Strich" bestehen. Bei R^n -> R^m kann ich mir noch in etwa etwas unter Umgebung von x wird auf Umgebung von y abgebildet vorstellen.

Lipschitz-Stetigkeit ist eine beschränkte Ableitung bei R->R. Sobald mehrere Dimensionen ins Spiel kommen steig ich jedoch auch hier aus.

Gibt es irgendwelche Bildchen zu diesen Stetigkeiten welche beim Verständnis helfen?

Hängt Stetigkeit von der gewählten Norm ab? Ich glaube schon oder?

Hängt Stetigkeit von der gewählten Norm ab? Ich glaube schon oder?

Im R^n natürlich nicht, da alle Normen da äquivalent sind. Wie sieht es jedoch zum Beispiel im C([a, b]) aus?

Gleichmäßig stetig bedeutet anschaulich, dass du einmal ein Rechteck wählen kannst und mit diesem den Graphen der Funktion entlangfahren kannst und immer der ganze Graphausschnitt in diesem Kasten ist.
Anschaulicher geht es leider nicht, ist ja auch kein ganz einfaches Konzept (mehr).

Ebenso die Lipschitz-Stetigkeit. Aber sämtliche Kontraktionen, wie du sie zum Beispiel bei den Fixpunktiterationen hast, sind Lipschitz-Stetig.

Da du bereits beim mehrdimensionalen angekommen bist solltest du eigentlich schon gehärtet genug sein um auf ein anschauliches Vorstellen verzichten zu können.

Im IR^n hängt die Stetigkeit nicht von der gewählten Norm ab, da dort alle Normen äquivalent sind.

Mathe Noob schrieb:

Hängt Stetigkeit von der gewählten Norm ab? Ich glaube schon oder?

Im R^n natürlich nicht, da alle Normen da äquivalent sind. Wie sieht es jedoch zum Beispiel im C([a, b]) aus?

Damit hast du dir die Frage doch bereits beantwortet.

Helferlein schrieb:

Da du bereits beim mehrdimensionalen angekommen bist solltest du eigentlich schon gehärtet genug sein um auf ein anschauliches Vorstellen verzichten zu können.

Wenn ich genau weiß was ich zeigen soll, dann geht es auch abstrakt. Jedoch gibt es auch die blöden Fragen vom Typ: Überprüfen Sie ob folgende Funktion xy stetig sind. Ohne Bauchgefühl welches meistens richtig liegt kann sich da sehr schnell verrennen.

Damit hast du dir die Frage doch bereits beantwortet.

Aber nicht für C([a, b]) die Menge aller stetigen Funktionen [a,b]->R. (Sorry, wenn dir die Schreibweise nicht bekannt ist.) Das ist ein unendlich dimensionaler Raum mit mind. zwei nicht äquivalenten Normen.

Mathe Noob schrieb:

Damit hast du dir die Frage doch bereits beantwortet.

Aber nicht für C([a, b]) die Menge aller stetigen Funktionen [a,b]->R. (Sorry, wenn dir die Schreibweise nicht bekannt ist.) Das ist ein unendlich dimensionaler Raum mit mind. zwei nicht äquivalenten Normen.

Diese ist mir bekannt, aber wie du selber erkannt hast ist im IR^n die Äquivalenz aller Normen das entscheidende Kriterium, dass Funktionen bezüglich jeder Norm stetig sind.
Für C([a,b]) hast du in deiner Vorlesung sicher ein Beispiel gesehen, wo die Normen nicht äquivalent sind, wahrscheinlich mit der Integral-Norm ("1-Norm") und der Supremumsnorm.

Falls nicht, so findest du es hier: http://www.matheraum.de/forum/Normen_auf_Funktionenraum/t304056

Jover

Vergiss diese anschaulichen Vorstellungen einfach.
Diese behindern dich nur, wenn es an abstraktere Sachen geht.

Die Definition der Stetigkeit einer Funktion ist, dass die Urbilder von offenen Mengen (wie auch immer diese definiert sind) wieder offen sind.

Aussagen wie, eine Funktion f: IR->IR ist stetig wenn "man sie in einem Zug zeichnen kann" sind Spezialfälle der obigen Definition und deshalb nur hinreichende Bedingungnen.

Denken in diesen "Barrieren" ist nich mathematisch und ist nur hinderlich.

Das wollte ich nur mal kurz bemerken

Helferlein schrieb:

Mathe Noob schrieb:

Damit hast du dir die Frage doch bereits beantwortet.

Aber nicht für C([a, b]) die Menge aller stetigen Funktionen [a,b]->R. (Sorry, wenn dir die Schreibweise nicht bekannt ist.) Das ist ein unendlich dimensionaler Raum mit mind. zwei nicht äquivalenten Normen.

Diese ist mir bekannt, aber wie du selber erkannt hast ist im IR^n die Äquivalenz aller Normen das entscheidende Kriterium, dass Funktionen bezüglich jeder Norm stetig sind.
Für C([a,b]) hast du in deiner Vorlesung sicher ein Beispiel gesehen, wo die Normen nicht äquivalent sind, wahrscheinlich mit der Integral-Norm ("1-Norm") und der Supremumsnorm.

Falls nicht, so findest du es hier: http://www.matheraum.de/forum/Normen_auf_Funktionenraum/t304056

Du musst dir dort die Antworten durchlesen, der erste Beitrag ist nicht das was ich meine, aber ich kann die nicht direkt verlinken, so wie es aussieht.

Ben04

Helferlein schrieb:

Für C([a,b]) hast du in deiner Vorlesung sicher ein Beispiel gesehen, wo die Normen nicht äquivalent sind, wahrscheinlich mit der Integral-Norm ("1-Norm") und der Supremumsnorm.

Die Beispiele hatten wir. Ich hab allerdings nicht gefragt ob die Konvergenz die gleiche ist, sondern ob die induzierte Stetigkeit die selbe ist. Zum Beispiel ist die Superumsnorm feiner als die 1-Norm. Also ist wenn ich mich nicht irre eine Funktion die in der Sup-Norm stetig ist es auch in der 1-Norm. Die Frage war, ob das auch andersrum gilt? Ich vermute nicht allerdings bin ich mir nicht sicher.

Ist die punktweise Konvergenz die, die von der 1-Norm induziert wird?

Ben04 schrieb:

Helferlein schrieb:

Für C([a,b]) hast du in deiner Vorlesung sicher ein Beispiel gesehen, wo die Normen nicht äquivalent sind, wahrscheinlich mit der Integral-Norm ("1-Norm") und der Supremumsnorm.

Die Beispiele hatten wir. Ich hab allerdings nicht gefragt ob die Konvergenz die gleiche ist, sondern ob die induzierte Stetigkeit die selbe ist. Zum Beispiel ist die Superumsnorm feiner als die 1-Norm. Also ist wenn ich mich nicht irre eine Funktion die in der Sup-Norm stetig ist es auch in der 1-Norm. Die Frage war, ob das auch andersrum gilt? Ich vermute nicht allerdings bin ich mir nicht sicher.

Ist die punktweise Konvergenz die, die von der 1-Norm induziert wird?

Es gilt ||f||_1 = int|f| <= (b-a)||f||_sup, wenn also T bezüglich sup stetig ist, dann auch bezüglich der 1-Norm, aber nicht umgekehrt: sowas wie eine Spitze, die immer dünner wird, geht bzg. der 1-Norm gegen 0, aber nicht bzgl sup. Das Beispiel zeigt auch, dass Konvergenz bzgl. 1-Norm nicht die punktweise Konvergenz impliziert, nur fast überall. Die 1-Norm ist auch besser in den L^1-Räumen aufgehoben als bei C^0.

und Lipschitzstetiug kannst du dir so vorstellen: L-stetig => f.ü. diffbar, und für diffbar heißt L-stetig: Ableitung beschränkt. Also musst du nur auf einem kpt. Intervall eine stetige Fkt (=> glm stetig) mit nicht beschröänbkler albuugn hernebnenb, z,.b. sqrt(x) oder x*sin(1/x) (evtl. nullmenge rausnehmen, dass abl stetig)

Mathe-Noob schrieb:

Sobald mehrere Dimensionen ins Spiel kommen steig ich jedoch auch hier aus.

stell es dir z.b. koordinatenweise bzw. für jeden Eintrag der Jacobi-Matrix einzeln vor.

Mathe-Noob == Ben04, oder wie

Zur Stetigkeit: das hast du so nicht gefragt, du fragtest "Hängt Stetigkeit von der gewählten Norm ab?" und das tut sie.
Zu deinem Gedankengang: würde die Umkehrung gelten, so bräuchte man bei der Definition der Äquivalenz von Normen die untere Schranke nicht.

Ben04

Helferlein schrieb:

Mathe-Noob == Ben04, oder wie

Jo, ich post solche Fragen lieber als unreg. Es ist weniger peinlich wenn mal 'ne ganz blöde Frage ins Post rein rutscht.

Bei sqrt(x) und x*sin(1/x) reicht es doch aber nicht nur die 0 auszuschießen. Man muss doch auch noch mind. ε>0 weit von der 0 entfernt sein um L-Stetigkeit zu erhalten, oder?

Welche von folgenden Aussagen stimmen bzw. sind falsch:

Sei D aus R, f: D->R, A, B aus D mit A union B = D

f lässt sich stetig auf einem abgeschlossenen Intervall in R fortsetzen => f ist glm. stetig
f|A und f|B sind glm. stetig => f ist glm. stetig
f|A und f|B sind L-stetig => f ist L-stetig

Die ersten beiden glaub ich stimmen, bei der letzten weiß ich nicht.

Wie zeigt man, dass eine Funktion glm. stetig oder sie es eben nicht ist? Gibt es da standard Ansätze?

Das ergibt keinen Sinn, ich wähle D = [1,3] U [5,6] und A := [1,3] sowie B := [5,6], dann habe ich deinen Definitionsbereich erfüllt.
Dazu:
f(x) := sqrt(x)

somit sind f|A und f|B gleichmäßig stetig, aber f ist es nicht!

Ähem schrieb:

Das ergibt keinen Sinn, ich wähle D = [1,3] U [5,6] und A := [1,3] sowie B := [5,6], dann habe ich deinen Definitionsbereich erfüllt.
Dazu:
f(x) := sqrt(x)

somit sind f|A und f|B gleichmäßig stetig, aber f ist es nicht!

Da aus f lipschitz-stetig => f gleichmäßig stetig lässt sich mein Einwand auch leicht auf lipschitz-stetige Funktionen übertragen

Zu deinem ersten Punkt: auch das gilt nicht, wenn D = [1,9) dann A := [1,5] und B:= (5,9) dann ist deine Forderung wieder erfüllt. Dazu wählt man f(x) := sqrt(x)
Sei x_n eine beliebige Folge mit x_n € B und x_n -> 9 für n -> unendlich.
Dann gilt f( x_n ) -> 3 für n -> unendlich, man kann also f auf einem abgeschlossenen Intervall stetig forsetzen und erhält D' = D U {9}

Ähem ist ein Troll: falsche Antworten

cbvcbvcb schrieb:

Ähem ist ein Troll: falsche Antworten

Bist das wieder du Ben04, weil du die Einwände nicht magst?
Falls nicht, sorry für die falsche Anschuldigung, aber du solltest halt konsequenz posten, also ganz als Unreg, oder ganz als Reg und nicht so gemischt, das verwirrt nur.

@Ähems Einwände: also das letzte mit sqrt(x) ist natürlich dumm gewählt, da sqrt ja gleichmäßig stetig ist.

Bei deinen Voraussetzungen fehlt, dass D zusammenhängend ist. Da du dich nur auf den eindimensionalen Fall beschränken willst, also dass D ein Intervall ist.
Ansonsten versuch doch einfach mal zur Übung deine Aussagen zu beweisen, dann sieht man meist ganz schnell wo etwas schiefgehen könnte. Oder wo man eine zusätzliche Voraussetzung benötigt.

Ben04

Nee, ich post in diesem Thread nur noch als Reg. An sich wollte ich auch konsequent mit dem ursprünglichen Namen posten, aber bei dem einen Post war mir nicht aufgefallen, dass ich noch eingeloggt war.

Danke für deine Antwort.

Ähem schrieb:

Das ergibt keinen Sinn, ich wähle D = [1,3] U [5,6] und A := [1,3] sowie B := [5,6], dann habe ich deinen Definitionsbereich erfüllt.
Dazu:
f(x) := sqrt(x)

somit sind f|A und f|B gleichmäßig stetig, aber f ist es nicht!

bei kompakten metrischen Räumen fallen stetig und glm stetig zusammen. genauso ist dein Argument für L-stetig falsch