Scheitel mit der quadratischen Ergänzung ausrechnen

Stromberg

Irgendwie check ich nicht, wie man den Scheitel mit der quadratischen Ergänzung ausrechnet.
Folgendes Beispiel:

y = -3x² + 4x -1
= -3[x² - 4/3 + 1/3]
= -3[x² - 4/3x + 4/9 - 4/9 + 1/3]
= -3[(x - 2/3)² - 1/9]
= -3(x - 2/3)² + 1/3 -> S(2/3; 1/3)

Da steigt doch keine Sau durch. Dass is doch behindert!

1. Wie kommt man auf die 4/9? Warum gerade 4/9? Kann ich dann auch 16/4 oder 49/25 nehmen oder was?

2. Ich verstehe noch dass das "²" von "x²" aufgelöst wird und dass Ding zu einer binomischen Formel wird, aber wo bitte bleiben die 3/4x? Berfallen die einfac oder was? Wo gehen die hin?

Wenn mir das jemand beantworten würde, hätt ich glaub wieder n bisschen mehr Durchblick in der Sache hier.

MfG
Stromberg

JustSomeCoder

Also ich würde die Aufgabe folgendermaßen lösen:

y = -3x^2 + 4x - 1
-y = 3x^2 - 4x + 1     // Erstmal das Minus vom x auf die andere Seite bringen, damit es nicht mehr stört
-y = x^2 - 4/3x + 1/3     // Jetz auch noch die 3 vom x weg, indem man eben alles durch 3 teilt
-y = (x + (4/3)/2)^2 - ((4/3)/2) + 1/3     // Hier das ganze nun nach allen Regeln der Kunst auflösen
-y = (x + 2/3)^2 - 1/3     // Nun noch vereinfachen...
y = (x - 2/3)^2 + 1/3     // Und das Minus wieder rüber bringen, jetzt kann man den Scheitelpunkt ganz leicht ablesen!

scrub

Stromberg schrieb:

1. Wie kommt man auf die 4/9? Warum gerade 4/9? Kann ich dann auch 16/4 oder 49/25 nehmen oder was?

Nein.
Nehmen wir nur mal den Teil x^2 - 4x/3. Du weißt, daß (x - T)^2 = x^2 - 2Tx + T^2 ist. Für den Scheitelpunkt brauchst Du die linke Seite davon, die nicht ausmultiplizierte Klammer. Also mußt Du jetzt herausfinden, wie dieses T aussieht... dazu vergleichst Du einfach 2Tx mit 4x/3 und stellst fest, daß offensichtlich T = 2/3 ist. Also lautet der Ursprung dieses x^2 - 4x/3 wie folgt: (x - 2/3)^2 .
Jetzt nimmst Du den kompletten Ausdruck in der eckigen Klammer: x^2 - 4x/3 + 1/3.
Die Klammer (x - 2/3)^2 ausmultipliziert ergibt aber x^2 - 4x/3 + 4/9. Das heißt, durch das Rückwärtsrechnen der binomischen Formel hast Du vorübergehend einen kleinen Fehler eingebaut, die beiden Ausdrücke sollten ja gleich sein, sind sie aber jetzt nicht mehr (einmal steht da 1/3, dann aber + 4/9). Um das wieder zu korrigieren, gleichst Du den Unterschied wieder aus, indem Du einfach 4/9 wieder abziehst und 1/3 dazuzählst.
Also ergibt sich jetzt in der eckigen Klammer x^2 - 4x/3 + 4/9 - 4/9 + 1/3
Den Anfang faßt Du nun wieder zusammen: (x - 2/3)^2 - 4/9 + 1/3
Jetzt noch hinten zusammenfassen: (x - 2/3)^2 - 1/9
Das in die eckige Klammer einsetzen: y = -3[(x - 2/3)^2 - 1/9]
Und jetzt die eckige Klammer wieder auflösen: y = -3(x - 2/3)^2 + 1/3
Bitte beachten: An der ursprünglichen Gleichung wurde nichts verändert, wir haben sie nur geschickter hingeschrieben, um jetzt den Scheitelpunkt ablesen zu können.

mcr

JustSomeCoder schrieb:

Also ich würde die Aufgabe folgendermaßen lösen:

y = -3x^2 + 4x - 1
-y = 3x^2 - 4x + 1     // Erstmal das Minus vom x auf die andere Seite bringen, damit es nicht mehr stört
-y = x^2 - 4/3x + 1/3     // Jetz auch noch die 3 vom x weg, indem man eben alles durch 3 teilt
-y = (x + (4/3)/2)^2 - ((4/3)/2) + 1/3     // Hier das ganze nun nach allen Regeln der Kunst auflösen
-y = (x + 2/3)^2 - 1/3     // Nun noch vereinfachen...
y = (x - 2/3)^2 + 1/3     // Und das Minus wieder rüber bringen, jetzt kann man den Scheitelpunkt ganz leicht ablesen!

Hallo JustSomeCoder,
Du machst in deiner Rechnung mehrere gravierende Fehler:

Zeile 3: diese Zeile ist nun nicht mehr äquivalent zu Zeile 2.
Du musst schon beide Seiten des Gleichheitszeichen durch 3 dividieren.

Zeile 4: -((4/3)/2) muss noch quadriert werden
Zeile 4: du wendest die 2. und nicht die 1. binomische Formel an: (x - (4/3)/2)^2

Zeile 6: Fehler beim multiplizieren mit -1: (-1) * (x+2/3)² ist nicht gleich (x-2/3)². das ist schlicht falsch

Gruß mcr

pumuckl

Stromberg schrieb:

1. Wie kommt man auf die 4/9? Warum gerade 4/9? Kann ich dann auch 16/4 oder 49/25 nehmen oder was?

2. Ich verstehe noch dass das "²" von "x²" aufgelöst wird und dass Ding zu einer binomischen Formel wird, aber wo bitte bleiben die 3/4x? Berfallen die einfac oder was? Wo gehen die hin?

Hm. Mal ganz ehrlich: das dürfte in so ziemlich jedem Mathebuch der 8. Klasse (oder wars 7. Klasse?) stehen. Dort steht schritt für Schritt beschrieben, wie man auf die 4/9 kommt (was übrigens die quadratische Ergänzung ist) und so weiter.

Taurin

2. Binomische Formel: (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

y = -3x² + 4x -1
  = -3[x² - 4/3x + 1/3]  // -3 ausklammern, damit die -3 nicht stört

Jetzt vergleichen wir mal ganz scharf die binomische Formel mit dem Kram in der Klammer. x^2 sieht so aus wie a^2. Dann muss 4/3x = 2ab sein. Also b=2/3. Dann ist b^2=(2/3)2 = 4/9

y = -3[x² - 4/3x + 4/9 - 4/9 + 1/3]  // addiere "nichts", denn 4/9 - 4/9 = 0
  = -3[(x - 2/3)² - 4/9 + 1/3]       // jetzt binomische Formel anwenden
  = -3[(x - 2/3)² - 1/9]             // bischen hübscher machen
  = -3(x - 2/3)² + 1/3               // Klammer ausmultiplizieren

Alles klar? Ist doch nicht so schwer!

JustSomeCoder

mcr schrieb:

JustSomeCoder schrieb:
Also ich würde die Aufgabe folgendermaßen lösen:
y = -3x^2 + 4x - 1
-y = 3x^2 - 4x + 1     // Erstmal das Minus vom x auf die andere Seite bringen, damit es nicht mehr stört
-y = x^2 - 4/3x + 1/3     // Jetz auch noch die 3 vom x weg, indem man eben alles durch 3 teilt
-y = (x + (4/3)/2)^2 - ((4/3)/2) + 1/3     // Hier das ganze nun nach allen Regeln der Kunst auflösen
-y = (x + 2/3)^2 - 1/3     // Nun noch vereinfachen...
y = (x - 2/3)^2 + 1/3     // Und das Minus wieder rüber bringen, jetzt kann man den Scheitelpunkt ganz leicht ablesen!
Hallo JustSomeCoder,
Du machst in deiner Rechnung mehrere gravierende Fehler:

Zeile 3: diese Zeile ist nun nicht mehr äquivalent zu Zeile 2.
Du musst schon beide Seiten des Gleichheitszeichen durch 3 dividieren.

Zeile 4: -((4/3)/2) muss noch quadriert werden
Zeile 4: du wendest die 2. und nicht die 1. binomische Formel an: (x - (4/3)/2)^2

Zeile 6: Fehler beim multiplizieren mit -1: (-1) * (x+2/3)² ist nicht gleich (x-2/3)². das ist schlicht falsch

Gruß mcr

Oo was hab ich n da für nen Mist zusammengeschrieben, du hast vollkommen Recht.

Naja, wenigstens hat sich meine Entscheidung - wegen den 40 Grad Fieber - von der Arbeit daheim zu bleiben, als kluge Wahl herausgestellt.

Trotzdem Danke für die Verbesserung, das hätte man so auf keinen Fall stehen lassen dürfen.

Ich verzieh mich dann besser mal wieder ins Bett. ;P