Eine Gleichung aus einem anderen Thread



  • x4 + y4 = 17 ist zu lösen mit x,y rationale Zahlen.



  • Gleichunglöser schrieb:

    x4 + y4 = 17 ist zu lösen mit x,y rationale Zahlen.

    x = 1, y = 2. Natürlich auch andersrum. Und sämtliche vostellbaren Verteilungen von Vorzeichen.



  • richtig, aber das Schwierige ist zu beweisen, dass es keine weiteren Lösungen gibt



  • Gleichunglöser schrieb:

    richtig, aber das Schwierige ist zu beweisen, dass es keine weiteren Lösungen gibt

    Wieso soll das schwierig sein? x4 und y4 sind jeweils gerade Zahlen, x und y können jeweils nicht größer als 2 sein zudem kann nur eins von beiden zwei sein. x=0 oder y=0 geht nicht, weil vierte Wurzel aus 17 nicht rational ist, womit ja nur die Kombinationen x=1 Λ y=2 oder x=2 Λ y=1 bleiben. Das mit den beliebigen Vorzeichen-Kombis lässt sich ja auch schnell zeigen. Keine Ahnung wie man das alles mathematisch ausdrückt, ich stell's mir aber nicht schwer vor :p



  • rationale, nicht ganzzahlige Lösungen.

    äquivalenterweise: x4 + y4 = 17z4 in ganzen Zahlen lösen.



  • Gleichunglöser schrieb:

    rationale, nicht ganzzahlige Lösungen.

    Ups 🤡



  • Und, wie kann man das nun beweisen?
    Würde mich interessieren!



  • phalanx-fanboy schrieb:

    Und, wie kann man das nun beweisen?
    Würde mich interessieren!

    Die Gleichung ist eine Frage, die Serre gestellt hat.

    Das Geschlecht der Kurve ist (4-1)(4-2)/2 = 3, sodass es nach dem Satz von Faltings nur endlich viele Lösungen über jedem Zahlkörper gibt. Man kann damit sogar eine obere Schranke für die Anzahl, nicht aber für die Höhe angeben (der Satz ist nicht effektiv; den Satz effektiv zu machen ist ein aktives Forschungsgebiet, Ansätze z.B. von Kim über die Schnittevermutung).

    Die Lösung basiert auf einem Satz von Chabauty. Um diesen anwenden zu können, muss man allerdings eine geeignete Überlagerung der Kurve finden und dann so etwas wie Chevalley-Weil anwenden (Übungsaufgabe in Hindry-Silverman). Dies wird hier getan: http://eprints.maths.ox.ac.uk/257/01/art17.pdf Die Lösung ist nicht schwer zu verstehen.

    Mit dieser Methode kann man noch mehr diophantische Gleichungen lösen.


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