Physik: Übung bez. Virialtheorem

Shinja

Hallo zusammen,

ich sitz hier seid ein paar Tagen vor einer Aufgabe in Mechanik und finde einfach keinen vernünftigen Ansatz. Leider ist es das erste Mal dass auch keiner meiner Mitstudenten etwas findet, darum muss ich mich an euch wenden. Ich entschuldige mich im Voraus, ich kenne mich zu meiner Schande leider noch nicht mit Latex aus.

Es soll bewiesen werden, dass in einem isolierten stabilen Viel-Teilchensystem folgendes gilt:
2*<T>=k*<V>
wobei T die kinetische Energie und V das Potential ist. V soll hierbei die Form
V(i,j)=br(i,j)^k haben.
Der Hinweis ist, dass wir mit der Gleichung
Sum(m(i)(a(i)*r(i))=sum(F(i)*r(i))
anfangen sollen. a steht hierbei für die Beschleunigung, r für den Abstand. Die i und j in Klammen sollen die Indizes sein (*seufz* ich lerne Latex sobald es geht... sry nochmal dafür) Außerdem sind sowohl a als auch r und F Vektoren.

Leider hat uns das bisher nicht weitergeholfen. Wir haben versucht die Gleichung abzuleiten, irgendwie umzuformen, <T> und <V> auszurechnen soweit es geht aber nichts hat auch nur ansatzweise zum Ziel geführt.

Könnte mir bitte jemand einen Ansatz geben, mit dem wir weiterkommen könnten? (ich bitte ausdrücklich darum, mir die Aufgabe NICHT vorzulösen. Ich will nur nen Ansatz mit dem ich was anfangen kann) Laut den Übungsassistenten soll die Aufgabe nicht allzu schwer sein, also nehm ich mal einfach an, dass wir allesamt blind sind.

Vielen Dank im Voraus.

Prof84

Intro für Outsider:
http://de.wikipedia.org/wiki/Virialsatz
http://de.wikipedia.org/wiki/Bra-Ket
http://de.wikipedia.org/wiki/Ergodenhypothese
http://de.wikipedia.org/wiki/Potential
http://de.wikipedia.org/wiki/Konservatives_Feld

Shinja schrieb:

V soll hierbei die Form V(i,j)=b*r(i,j)^k haben.

Das hat mich ein wenig aus dem Tritt gebracht und wahrscheinlich euch auch.

WIKI-Virialsatz schrieb:

Ist die Kraft konservativ und besitzt ein Potential U, das homogen vom Grad k ist, d.h. für α > 0 gilt U(\alpha \vec r_i)=\alpha^k U(\vec r_i), so vereinfacht sich die obige Form auf
: \overline T = \frac k2\, \overline U.

P.S.: Habe auch Probleme mit Latex.

Wenn man einfach das Skalarprodukt für Kraft und Radius für das Potenial einsetzt sollte es doch gehen. Für die absoluten Werte betrachte man den Raum {i,j,r}

Oder täusche ich mich?!

Hm, der Virialsatz ist ja gar nicht so einfach. Was mir nicht eingefallen ist, war

Summe[i](F_i * r_i ) = Summe[i<j]( F_ij * (r_i - r_j)  )

Shinja

Ok, vielen Dank schonmal. Damit sollte ich dann ja die rechte Seite ganz einfach auf Sum[i<j]V(ij)=V kriegen können, das war mir schonmal nicht eingefallen.

Jetzt hab ich mir noch überlegt, wie ich die linke Seite zur kinetischen Energie umformen könnte.- Dabei ist mir aufgefallen, dass, wenn ich die linke Seite nach der Zeit ableite, ich die Ableitung der kinetischen Energie zwar reinbekomme, leider habe ich dann aber noch einen Therm, der aus der dreifachen Ableitung des Ortes nach der Zeit mal dem Ort besteht, mit dem ich irgendwie gar nichts anfangen kann grad.

mh, vllt find ich da nen anderen Zusammenhang. Irgendwo muss ja auch noch der k Faktor herkommen, und die Formel für <> sollte vllt auch noch reinkommen.

Ich versuch's, schaue aber nochmal hier rein wenn ich zu nix komme, vllt hat ja noch jemand nen Tip für mich. Ich komm mir grad so vor als stünde ich komplett auf'm Schlauch...

Danke nochmal!

EDIT: jetzt hab ich grad mal in der Vorlesung genauer nachgelesen, dort wird T an einer Stelle durch M/2*v*mü*a ersetzt (bezieht sich allerdings auf ein 2-Körper-System, mü ist hierbei die reduzierte Masse, M die Gesamtmasse) Irgendwas durchblick ich wohl noch nicht richtig.

hast du beachtet, dass das theorem nur für zeitliche mittelwerte gilt?
d.h. zum beispiel

2T - kV + f = 0

wobei <f> = 0 ist. hier spielt die stabilität des systems eine rolle (d.h, orte und impulse sind beschränkt)

Shinja

Vielen Dank euch allen, alles zusammen hat jetzt dann endlich zum Ziel geführt. Hoff ich zumindest.

Danke, ohne euch hätt ich's vermutlich nicht gepackt. Mechanik in dieser Form ist mir noch etwas fremd. Kann sein, dass ich mit weiteren Fragen wiederkomme bis dass ich mich irgendwie hineingedacht habe.