Determinante
-
Hallo,
eine kurze Frage zur Determinante.
Ich habe in einem Skript gelesen das folgendes gilt:
|A B C| = (A×B)·C = -(A×C)·B = -(C×B)·A (Das Kreuz x ist das Kreuzprodukt, der Punkt das Skalarprodukt. Die 3 Buchstaben stehen für Vektoren im R3)
Das stimmt doch auch, oder?Nun steht in dem Skript auch folgendes:
|-d T e2| = (d x e2)*T
und
|-d e1 T| = (T x e1)*dDiesen Schritt verstehe ich nicht. Durch keine der 3 Formeln komm ich auf diese Umformung. Wie haben die das gemacht?
-
In der ersten Formel vertausche e2 mit T was ein Minuszeichen gibt und du hast obere Formel mit A=d, B=e2, C=T.
In der zweiten verausche T mit e1, d mit T und d mit e1 (in dieser Reihenfolge). Drei Vertauschungen geben ebenfalls ein Minus.
-
e2 mit T vertauschen in der Formel (d x e2)*T?? Wieso? Ich kann doch nur die 2 Vektoren in der Klammer tauschen (wegen der Eigenschaft des Kreuzprodukts: G x H = -H x G).
Aber wieso e2 und T tauschen?
Der kriegt ja das Minuszeichen von d weg, also muss das irgend ne Formel mit -A sein?!
-
Das Vertauschen der beiden Spalten in der Determinante gibt Dir auch ein -1 (Determinante ist alternierend), und aus der ersten Spalte kannste ein -1 rausziehen (Determinante ist multilinear):
|-d T e2| = -1*|-d e2 T| = (-1)*(-1)|d e2 T| = |d e2 T|
siehe auch Determinante.
Anschließend kannst Deine Formel für |A B C| anwenden.
-
Aaaah! Diese ganzen Eigenschaften der Determinante kannte ich nicht. Vielen Dank Jester
-
Du haettest auch einfach deine eigenen Regeln nutzen koennen...
(A×B)·C = -(A×C)·B