Stochastische Prozesse

Taurin

Ich möchte gerne zeigen, dass ein stationärer, einmal stetig diff'barer Gauß-Prozess unkorreliert ist zu seiner ersten Ableitung.

Mein bisheriger Ansatz:

Corr(x(t),x'(t)) = E{ x(t)x'(t) }
                 = E{ x(t) * lim (x(t+h)-x(t))/h }
                 = lim E{ x(t) * (x(t+h)-x(t))/h }   (*)
                 = lim 1/h [E{x(t)x(t+h)} - E{x(t)^2}]
                 = lim 1/h [r_xx(h) - r_xx(0)]
                 = r_xx'(0)

Mit r_xx(t) ist die Autokorrelationsfunktion gemeint. Mit lim ist jeweils der limes für h gegen 0 gemeint.

Meine Fragen dazu (die erste Frage ist etwas Analysis-lastig):

Bei (*) habe ich den Limes vor den Erwartungswert gezogen, vor allem, weil dann so ein hübsches Ergenis rauskommt. Der Erwartungswert ist ja letztlich nur ein Integral. Wann darf man den Limes aber vor ein Integral ziehen?

Für die AKF gilt i.A. r_xx(t) <= r_xx(0) für alle t. Alle Fälle, die ich bisher gesehen habe, hatten an der Stelle t=0 tatsächlich ein striktes Maximum, d.h. r_xx'(0) = 0. Kann man irgendein Kriterium angeben, wann das nicht so ist?

Prof84

Taurin schrieb:

Corr(x(t),x'(t)) = E{ x(t)x'(t) }
                 = E{ x(t) * lim (x(t+h)-x(t))/h }
                 = lim E{ x(t) * (x(t+h)-x(t))/h }   (*)
                 = lim 1/h [E{x(t)x(t+h)} - E{x(t)^2}]
                 = lim 1/h [r_xx(h) - r_xx(0)]
                 = r_xx'(0)

Wann darf man den Limes aber vor ein Integral ziehen?

Unter der eingehenden Annahme das x(t) für alle t über R stetig ist.
Du erweiterst im Prinzip nur die Systemgrenzen um das Intergral.

Taurin schrieb:

Für die AKF gilt i.A. r_xx(t) <= r_xx(0) für alle t. Alle Fälle, die ich bisher gesehen habe, hatten an der Stelle t=0 tatsächlich ein striktes Maximum, d.h. r_xx'(0) = 0. Kann man irgendein Kriterium angeben, wann das nicht so ist?

Öööh, nach meinen Verständnis liegt das in der Definition des Korrelationsfunktion selbst dass r_xx'(0) = 0 ist.
Ohne der einmaligen Stetigkeit wäre r_xx'(0) nicht diff. für alle t.

Unter der eingehenden Annahme das x(t) für alle t über R stetig ist.

Kannst du mir ein Stichwort (z.b. Name des Satzes) sagen, unter dem ich das in meinem Analysis- oder Stochastikbuch finde?

Prof84 schrieb:

Ohne der einmaligen Stetigkeit ...

Schonmal danke für die Antwort. Aber was ist "einmalige Stetigkeit"? Meinst du "einmal stetige Differenzierbarkeit"?

Schonmal vielen Dank!

Prof84

Taurin unterwegs schrieb:

Unter der eingehenden Annahme das x(t) für alle t über R stetig ist.

Kannst du mir ein Stichwort (z.b. Name des Satzes) sagen, unter dem ich das in meinem Analysis- oder Stochastikbuch finde?

http://de.wikipedia.org/wiki/Grenzwert_(Folge)
=> Grenzwertbildung und Funktionsauswertung
http://de.wikipedia.org/wiki/Grenzwert_(Funktion)
=> Grenzwertsätze

Taurin unterwegs schrieb:

Prof84 schrieb:

Ohne der einmaligen Stetigkeit ...

Schonmal danke für die Antwort. Aber was ist "einmalige Stetigkeit"? Meinst du "einmal stetige Differenzierbarkeit"?

Schonmal vielen Dank!

Jupp!

Danke!