vollständige induktion
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ich muss prof rechtgeben: auch wenn der beweis mathematisch korrekt ist; es wird sicher einfacher zu verstehen sein, wenn man beide seiten der ungleichung auf dieselben mathematischen operatoren zurückführt, bspw. multiplikation auf beiden seiten, weil sich dann die beiden seiten besser vergleichen lassen als multiplikation (bzw. das potenzieren) auf der einen und fakultät auf der anderen seite, man sollte also verständlich machen, dass sich n^n schneller "entwickelt" als n!.
tauris beweis - zusammengefasst - sieht so aus:
behauptung: n! < n^n
beweisführung... -> beweis: (n+1)! < (n+1)^(n+1)es sieht fast so als ob der beweis die behauptung bestätigen muss und umgekehrt, allein dass man die behauptung zuerst prüft (n=1, n=2) und von einem n, für das die behauptung bestätigt wurde, auf ein n+1 schließt macht den beweis nachvollziehbar!
aber trotzdem ziemlich mathematisch die ganze angelegenheit ...
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http://www.chemieonline.de/forum/showthread.php?t=6106
vielleicht kommt hierbei Jemanden eine Idee ...
(n+1)! n! n! ---------- = ------- < ---- (n+1)^(n+1) (n+1)^n n^n streng monoton fallend und zugleich stets >0, also nach unten beschränkt - ergo konvergent! (immerhin!)Chemiker haben immer noch die besten Ideen.
Vollständige Induktion inklusive.
Eigentlich muss noch beweisen, dass n!/n^n < 1 ist.
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He, nicht ablenken. Wir waren bei deiner Behauptung, Taurins Beweis sei unvollständig.
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Hör mal auf rumzuflamen, ich will dir schlichtweg helfen, da ich schon zweimal jemanden die vollständige Induktion erklärte. Und oftmals muss nur der Groschen fallen.
Also nochmals. Im zweiten Schritt willst du zeigen dass wenn B(n) wahr ist, dann ist auch B(n+1) wahr. Denn nur so kannst du zusammen mit dem Induktionsanfang die Induktion machen.
Also auf den Term (n+1)n! kannst du (oder bzw. must du sogar) in irgenteiner Form immer die Induktionsvorraussetzung B(n) anwenden, denn du möchtest ja zeigen dass wenn B(n) wahr ist, dann ist auch B(n+1) wahr. Also kann du natürlich die Behauptung n! < n^n für ein n anwenden. Und daraus ergibt sich natürlich die Ungleichung (n+1)n! < (n+1)n^n.
Ich hoffe damit sind alle Klarheiten beseitigt.
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Vielleicht gefällt es ihm so?
n -> n+1 (Heißt: Wir beweisen aus n! < n^n dass (n+1)! < (n+1)^(n+1)) n! < n^n (Induktionsannahme) | * (n+1) <=> (n+1)! < n^n * (n+1) | multiplizieren rechte Seite mit | ((n+1)/n)^n. Das ist gleich (1 + 1/n)^n > 1 | also bleibt die Ungleichung bestehen <=> (n+1)! < (n+1)^n * (n+1) = (n+1)^(n+1) qed
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@strippenzieher:
Schau Dir das an. Was soll man dazu noch sagen!
Am Besten nix!
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Oh leck, ich habe selten einen Menschen gesehen, welcher sich so störrisch gegen Abschätzungen wehrt. Der Ansatz für den Beweis von .filmor für B(n+1) ist zwar gut, wird aber schätzungsweise bei größeren Beweisen unbrauchbar sein, da man öfters als einmal einen Term abschätzen muss.Ich frage mich langsam ob du überhaupt die Induktion richtig verstanden hast. Warum macht man denn den Induktionsanfang, -schritt ? Was heißt denn überhaupt Induktion ? ...
Frag doch ruhig mal nach, wenn du Dinge nicht verstehst! Es wird dich keiner steinigen wenn du sehr einfache Dinge nachfragst. Und es ist keine Schande nachzufragen was der Unterschied zwischen "genau dann wenn" und "daraus folgt" ist!
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Ich weiss nicht genau wo das Verständnisproblem von einigen liegt, aber vielleicht kann ich helfen.
Es ist A priori nicht klar, dass die vollständige Induktion funktioniert bzw. mathematisch korrekt ist. Das muss man natürlich auch beweisen.
Ein Beweis findet sich z.B. hier:
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pasti schrieb:
Ich weiss nicht genau wo das Verständnisproblem von einigen liegt, aber vielleicht kann ich helfen.
Es ist A priori nicht klar, dass die vollständige Induktion funktioniert bzw. mathematisch korrekt ist. Das muss man natürlich auch beweisen.
Ein Beweis findet sich z.B. hier:
Guter Link. Danke!
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Prof84 schrieb:
pasti schrieb:
Guter Link. Danke!
Die anderen deutschen und englischen Artikel aus Wikipedia zur Induktion sind leider erstaunlich schlecht.
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Zur Abgrenzung sei bemerkt, dass Induktionsbeweis und Induktionsschluss keine aequivalenten Begriffe sind.
http://de.wikipedia.org/wiki/Induktionsschluss
vs.
http://de.wikipedia.org/wiki/Transfinite_Induktion
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pasti schrieb:
Es ist A priori nicht klar, dass die vollständige Induktion funktioniert bzw. mathematisch korrekt ist. Das muss man natürlich auch beweisen.
Das Induktionsprinzip ist ein Axiom. Würdest du bitte näher ausführen, was du damit meinst, du müsstest das beweisen? Ich sehe hier:
auch nicht wirklich einen Beweis für das Induktionsprinzip.
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Hatcher, William S., 1982. The Logical Foundations of Mathematics.
Hier sollte die Herleitung des Induktionsprinzips aus der ZFC drinstehen. Habe das Buch aber gerade nicht zur Hand.
Man definiert die natuerlichen Zahlen als Durchschnitt aller induktiven Mengen um obiges zu Beweisen, wenn ich mich richtig erinere.
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OK, wenn du von ZFC her kommst, seh ich das ein. Aber ich glaube, damit sprengen wir irgendwie den Rahmen des Threads.
Und Prof84 weiß immer noch nicht, was Induktion ist
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pasti schrieb:
Hatcher, William S., 1982. The Logical Foundations of Mathematics.
Hier sollte die Herleitung des Induktionsprinzips aus der ZFC drinstehen. Habe das Buch aber gerade nicht zur Hand.
Man definiert die natuerlichen Zahlen als Durchschnitt aller induktiven Mengen um obiges zu Beweisen, wenn ich mich richtig erinere.
interessant. ich kenne die induktion auch nur als 9. peano-axiom
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Bashar schrieb:
Und Prof84 weiß immer noch nicht, was Induktion ist
und du weißt immer noch nicht wovon ich rede!
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Stimmt wahrscheinlich. Ich aber auch nicht.
Kannst du das Problem vielleicht nochmal formulieren? Reicht dir meine Variante des Beweises auch nicht aus?
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Prof84 schrieb:
und du weißt immer noch nicht wovon ich rede!
"Ätschibätsch!" Ja klar, du rückst ja nicht mit Erklärungen raus.
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Beatrix schrieb:
pasti schrieb:
Hatcher, William S., 1982. The Logical Foundations of Mathematics.
Hier sollte die Herleitung des Induktionsprinzips aus der ZFC drinstehen. Habe das Buch aber gerade nicht zur Hand.
Man definiert die natuerlichen Zahlen als Durchschnitt aller induktiven Mengen um obiges zu Beweisen, wenn ich mich richtig erinere.
interessant. ich kenne die induktion auch nur als 9. peano-axiom
Die Peano-Axiome habe in der Mathematik keine Bedeutung mehr. Als man in den 1930er Jahren die Mengenlehre überarbeiten musste um Wiedersprüche zu beheben, konnte man dann auch die natürlichen Zahlen wunderbar herleiten.
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So ich fasse also mal die aufgekommenen Fragen zusammen:
1.) Wie funktioniert der Beweis n! < n^n mittels der vollständigen Induktion ?
2.) Warum funktioniert die Induktion ? Kann man diese beweisen ? Und wenn ja, wie ?
3.) Auf welchen Grundlagen steht die Induktion ? In welchem Verhältnis stehen die Peano Axiome zur Induktion ? Und erst Recht in welchem Verhältnis steht die Rekursion zur Induktion ?PS: Ich vermisse die Zeit in denen man noch Gegeben, Gesucht, Lösung hinschrieb!
