Wertemenge

Stromberg

Wenn ich die Funktion f(x) = -1/4x² + x + 2 habe, mit der Df[2;6], wie komme ich dann auf die Wertemenge?

MfG
Stromberg

da die funktion stetig,* und auf einem kompakten intervall definiert ist, ist die wertemenge das intervall [min(f([2;6])), max(f([2:6])) ], da eine stetige funktion alle werte zwischen minimum und maximum annimt. du musst nur das minimum und maximum bestimmen.

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* kommt da das komma hin, oder nicht?

Stromberg

Mh, also die Lösung kenn ich schon: [-1;3] ich weiß nur nicht wie ich darauf kommen soll?!

MfG
Stromberg

titan99_

Zeichne doch einfach den Graphen im Definitionsbereich und schaue wo y am grössten und wo y am kleinsten ist.

Stromberg

Algebraisch gehts nicht?

MfG
Stromberg

mcr

Du bestimmst lokale Minima und Maxima und nimmst dann den kleinsten bzw.
größten Wert inklusive den Rändern deines Definitionsbereichs.

Lokale Extremwerte bestimmst du über die erste Ableitung.

f'(x) = -1/2 x + 1

f'(x) = 0 <=> -1/2 x + 1 = 0 <=> x = 2

Einen möglichen lokalen Extremwert haben wir also bei x=2.

f(2) = -1/4 2² + 2 + 2 = 3

Nun noch die Randpunkte des Definitionsbereichs:

f(2) = 3
f(6) = -1/4 6² + 6 + 2 = -1

Also haben wir folgende Funktionswerte, die wir nun vergleichen müssen:

f(2) = 3  // von der Extremwertberechnung
f(2) = 3  // vom Definitionsbereich
f(6) = -1 // vom Definitionsbereich

min = MIN(3, 3, -1)
max = MAX(3, 3, -1)

Also ist der Wertebereich: [min,max] = [-1, 3]

Dies geht nur, weil die Funktion im Definitionsbereich differenzierbar ist.

Gruß mcr

EDIT: ich habe mir Absicht die 3 zweimal geschrieben, da ich deutlich machen
wollte, dass es nicht immer gleich der Rand des Definitionsbereichs ist.
Er aber auch nicht vergessen werden darf.

PS: es dürfen natürlich nur die lokalen Extrema genommen werden, die auch im
Definitionsbereich liegen.

Christoph

Stromberg schrieb:

Algebraisch gehts nicht?

Doch, sicher: Da die Funktion differenzierbar ist, kannst du die Ableitung bilden und deren Nullstellen suchen. Die Nullstellen der Ableitung entsprechen Extremstellen der Funktion, zusätzlich musst du aber noch den Rand betrachten, also die Punkte x=2 und x=6. An einem dieser Punkte (also x=2, x=6 oder x=Nullstelle von f') wird die Funktion minimal bzw. maximal sein: Das ist dann das globale Maximum bzw. Minimum.

D-U-D-E

Da es sich um eine (nach unten offene) Parabel handelt, würde ich die Position des Scheitelpunkts bestimmen, und schauen, ob er im Intervall liegt. Ist das der Fall, brauchst du nur noch das Minimum zu suchen, das an einer der Grenzen zu finden ist. Ist das nicht der Fall, so sind Minimum/Maximum beide an den Grenzen zu finden.