Nachbeschränkung

Hallo!
Über die folgende Aussage bin ich gestolpert:
Ist f : A -> B eine Abbildung, so ist die Nachbeschränkung f(A)\f surjektiv.

Warum ist das so?
Kann sie nicht auch injektiv sein?
Gruß,
m.

SG1

mathematikpraktikant schrieb:

Ist f : A -> B eine Abbildung, so ist die Nachbeschränkung f(A)\f surjektiv.

Meinst Du f(A)\f(A)? In diesem Wikibooks-Artikel seh ich Nachbeschränkung auf Mengen, nicht auf Funktionen.

Warum ist das so?

Naja, wie zeigt man Surjektivität? Man nimmt sich ein beliebiges Element aus dem Nachbereich, und zeigt, dass sie ein Urbild hat. Der Nachbereich ist (nach Definition der Nachbeschränkung) f(A). Ein beliebiges Element daraus ist f(a) (mit a \in A), ein Urbild davon ist a.

Kann sie nicht auch injektiv sein?

Klar, kann es auch. Warum sollte das ein Problem sein?

Oje, gleich noch ein Satz:
Daraus folgt, das für jede injektive Abbildung f : A -> B die Nachbeschränkung f(A)\f eine Bijektion ist.

Wie kommt denn das? Angenommen es gibt ein Element von B, das vor der Nachbeschränkung nicht von der Abbildung getroffen wird, warum sollte es denn nach der Nachbeschränkung getroffen werden?
Und:
ist denn eigentlich f(A)\f = B ?
Wenn nicht, wieso nicht?
Gruß,
m.

Jester

Mit dieser "Nachbeschränkung" (komisches Wort, ich würde des Bildbereichs von f nennen) ersetzt Du B durch f(A).

Das heißt Du gehst zur Funktion f: A --> f(A) über. Das ist per Definition surjektiv. Wenn die Funktion zuvor injektiv war, dann ist sie es jetzt immer noch. Wenn sie also zuvor injektiv war, dann ist sie nun sowohl injektiv als auch surjektiv, also bijektiv.

[quote="SG1"]

mathematikpraktikant schrieb:

Ist f : A -> B eine Abbildung, so ist die Nachbeschränkung f(A)\f surjektiv.

Meinst Du f(A)\f(A)?
Ne, im Skript steht f(A)\f.

Kann sie nicht auch injektiv sein?
Klar, kann es auch. Warum sollte das ein Problem sein?

Naja, ich habe das so verstanden, das die Aussage immer gilt. Wäre es auch injektiv, wäre es ein Widerspruch.

Vielleicht verstehe ich auch die Aussage f(A)\f nicht richtig.
Für mich bedeutet das: Nachbeschränkung von f auf f(A) äquivalent Nachbeschränkung von f auf B.
Also praktisch gar keine Nachbeschränkung.

Jester schrieb:

Das heißt Du gehst zur Funktion f: A --> f(A) über. Das ist per Definition surjektiv.

Achso, das gilt generell für alle Abbildungen? Das wusste ich noch nicht.

Jester schrieb:

Wenn die Funktion zuvor injektiv war, dann ist sie es jetzt immer noch. Wenn sie also zuvor injektiv war, dann ist sie nun sowohl injektiv als auch surjektiv, also bijektiv.

Krass, kapiere ich auf Anhieb nicht ganz. Kann man dafür ein Beispiel konstruieren?

SG1 schrieb:

mathematikpraktikant schrieb:

Ist f : A -> B eine Abbildung, so ist die Nachbeschränkung f(A)\f surjektiv.

Meinst Du f(A)\f(A)? In diesem Wikibooks-Artikel seh ich Nachbeschränkung auf Mengen, nicht auf Funktionen.

Im Skript steht f(A)\f, damit sind Mengen gemeint. D.h. der Wertebereich von f wird auf f(A) nachbeschränkt, wenn ich das richtig verstehe.

Im Skript steht f(A)\f, damit sind Mengen gemeint. D.h. der Wertebereich von f wird auf f(A) nachbeschränkt, wenn ich das richtig verstehe.[/quote]

Hmm..und weil die Abbildung f : A -> B ist, kann man meiner Meinung nach auch schreiben f(A) <-> B oder ?
Hmm...

Jester

mathematikpraktikant schrieb:

Naja, ich habe das so verstanden, das die Aussage immer gilt. Wäre es auch injektiv, wäre es ein Widerspruch.

Nein, injektiv und surjektiv widersprechen sich nicht. Es sind voneinander unabhängige Eigenschaften von Funktionen.

Eine Funktion kann
- weder injektiv noch surjektiv sein,
- injektiv aber nicht surjektiv sein,
- nicht injektiv aber surjektiv sein,
- oder sowohl injektiv als auch surjektiv sein.

Im letzteren Fall (also sowohl injektiv als auch surjektiv) ist die Funktion bijektiv.

Am besten Du prüfst mal für folgende Funktion nach wie die Einschränkung aussieht und wie's mit Injektivität/Surjektivität aussieht:

f: N --> N, n |--> 2*n

dabei ist N die Menge der natürlichen Zahlen.

Aaalso,
die Bedingung für die Injektivität wird nicht erfüllt, die
Bedingung für die Surjektivität ebenfalls nicht ( Alle ungeraden Zahlen
des Wertebereichs werden nicht getroffen ). Darum ist
die Funktion per Definition auch nicht bijektiv.

Was die Einschränkung betrifft, weiß ich möglicherweise nicht was
du meinst. So wie du es hingeschrieben hast, ist die Funktion ja nicht
eingeschränkt, ne. Zumindest nicht im Bezug auf den gegebenen
Definitions und Wertebreich. Oder?

Ich könnte mir jetzt eine Menge definieren:
Sei V Teilmenge von N, und
V := { y | y Element von N und y ist durch 2 teilbar }

Wenn ich dann die Nachbeschränkung so schreibe:
V\f : N -> V
zack, dann habe ich die Funktion bijektiv gemacht oder?

Gruß,
m.

Edit:
Quark, injektiv ist sie ja doch.
Also, nicht injektiv aber surjektiv, daher nicht bijektiv.

Jester

mathematikpraktikant schrieb:

Aaalso,
die Bedingung für die Injektivität wird nicht erfüllt, die
Bedingung für die Surjektivität ebenfalls nicht ( Alle ungeraden Zahlen
des Wertebereichs werden nicht getroffen ). Darum ist
die Funktion per Definition auch nicht bijektiv.

fast, injektiv ist sie. Aus 2x = 2y folgt, dass x = y, also ist die Funktion injektiv.

Was die Einschränkung betrifft, weiß ich möglicherweise nicht was
du meinst. So wie du es hingeschrieben hast, ist die Funktion ja nicht
eingeschränkt, ne. Zumindest nicht im Bezug auf den gegebenen
Definitions und Wertebreich. Oder?

Richtig, das ist Deine Aufgabe.

Ich könnte mir jetzt eine Menge definieren:
Sei V Teilmenge von N, und
V := { y | y Element von N und y ist durch 2 teilbar }

Wenn ich dann die Nachbeschränkung so schreibe:
V\f : N -> V
zack, dann habe ich die Funktion bijektiv gemacht oder?

Genau. Injektiv war sie schon, durch die Einschränkung wird sie surjektiv, ergibt zusammen bijektiv.

Jester

mathematikpraktikant schrieb:

Edit:
Quark, injektiv ist sie ja doch.

Richtig.

Also, nicht injektiv aber surjektiv, daher nicht bijektiv.

Das ist quatsch, wie Du eben festgestellt hast ist sie injektiv.

Das ist quatsch, wie Du eben festgestellt hast ist sie injektiv.

Ist nicht mein Tag heute. *grins*
Naja, aber wenigstens habe ich es jetzt kapiert.
Thanks!

Gruß,
m.

Jester schrieb:

Eine Funktion kann
- weder injektiv noch surjektiv sein,

Funktion?
Wie würde die denn aussehen?

Jester

f:R --> R, x |--> x^2 ist ein Beispiel.

Sie ist nicht surjektiv: negative Zahlen haben keine Urbilder und auch nicht injektiv: f(2) = f(-2), aber 2 != -2.

ok, supi

Jester schrieb:

f:R --> R, x |--> x^2 ist ein Beispiel.

Sie ist nicht surjektiv: negative Zahlen haben keine Urbilder und auch nicht injektiv: f(2) = f(-2), aber 2 != -2.

Es werden doch keine negativen Bilder(Zahlen) erzeugt. :p

Jester

merk0r schrieb:

Jester schrieb:

f:R --> R, x |--> x^2 ist ein Beispiel.

Sie ist nicht surjektiv: negative Zahlen haben keine Urbilder und auch nicht injektiv: f(2) = f(-2), aber 2 != -2.

Es werden doch keine negativen Bilder(Zahlen) erzeugt. :p

ja, und deswegen ist sie nicht surjektiv. Oder worauf willst Du hinaus?

Jester schrieb:

ja, und deswegen ist sie nicht surjektiv. Oder worauf willst Du hinaus?

Nö, nur sone Anmerkung, denn wenn es keine negativen Werte gibt, dann ja auch keine Urbilder von diesen.