Matrixrechenregeln

hallo ich habe folgende sache:

zunächst wird eine Matrix A mit vektor x multipliziert
das ergebnis wird mit matrix B multipliziert :

B (Ax)

kann man das auch als

(BA) x berechnen?

Jester

Ja.

Ja, die Matrixmultiplikation ist assoziativ: ABC=(AB)C=A(BC)
Und dein Vektor ist auch nur eine n x 1 Matrix.

und wenn ich jetzt
Matrix A
Vektor p,m
habe gilt dann

Ax - Am + m =

A ( x-m) +m ?

oder gehts noch einfacher?

Klar geht das. Die Matrizen bilden einen Ring mit 1, es gelten also viele der üblichen Rechenregeln die du so kennst.

Übrigens folgt die Gültigkeit der Distributivität daraus, dass jede Matrix Abbildungsmatrix einer linearen Abbildung interpretiert werden kann und somit insbesondere linear ist, d.h. A(x+y)=A(x)+A(y) (hier mal extra geklammert, damit du erkennst, dass die Distributivität hier gerade der Linearitätseigenschaft entspricht).

Jester

Mathe-Pro schrieb:

Übrigens folgt die Gültigkeit der Distributivität daraus, dass jede Matrix Abbildungsmatrix einer linearen Abbildung interpretiert werden kann

Wieder andere sagen es sei genau umgekehrt: Die Interpretierbarkeit als lineare Abbildung folge direkt aus der Distributivität.

ist schon nicht ganz dasselbe:

Linearität: A(ax+by) = aAx+bBy

Distributivität: A(B+C) = AB+AC, a(b+c) = ab+ac

Additivität: A(x+y) = Ax+Ay, (A+B)x = Ax+Bx

(a,b Skalare; A,B Matrizen; x,y Vektoren)

Jester

u_ser-l schrieb:

ist schon nicht ganz dasselbe:

stimmt schon, aber die Rechenregeln folgen trotzdem auch direkt aus der Definition. Da muß man von linearen Abbildungen nicht unbedingt reden.

Walli

Die Frage ist natürlich, ob man das in einer realen Berechnung unbedingt machen will. "(Matrix x Matrix) x Vektor" hat i.d.R. Aufwand O(n^3) (Strassen und Co. mal außen vor) wohingegen "Matrix x (Matrix x Vektor)" nur O(n^2) braucht. Wenns nur um die Rechenregel geht, dann verweise ich an die Vorposter .