(2*2^n)-1=2^n lösen?

Hallo,

wie löse ich folgende Gleichung:

(2*2^n)-1=2n

Ich bin schon seit Stunden (!) am überlegen, aber iwie kommt nur mist raus.

Danke...

Bashar

Eine Lösung raten, dann beweisen, dass es nur eine gibt, wäre eine Möglichkeit.

Sobald statt der 2 da eine krumme Zahl steht wird das nicht besonders einfach.
Mein CAS-Taschenrechner spuckt mir da innerhalb von Sekunden einen vernünftigen Wert aus: wie macht er das denn?

GNU-Fan

Oder, wenn man das nicht gleich sieht (so wie ich ), dann:
durch 2^n divideren,

2 - 2^(-n) = 1
2^(-n) = 1 <-> n = 0

GNU-Fan schrieb:

Oder, wenn man das nicht gleich sieht (so wie ich ), dann:
durch 2^n divideren,

2 - 2^(-n) = 1
2^(-n) = 1 <-> n = 0

Keine Ahnung was du meinst

Naja, hier mal die dazugehörige Aufgabe:

Wie lange dauert die Tilgung von 60.000€ Schulden bei einer Rate von 6000€ und einem Zinssatz von 5%

Meine Gleichung:

6000=1.05^n * (0.05 / ((1.05^n) - 1)) * 60.000
Nach ein wenig Rechnen komme ich auf:
(2*1.05^n)-2=1,05n

Taschenrechner sagt n=14,... , was sehr plausibel ist.

Walli

edit: war Blödsinn!

geloescht

In deinem Fall:
n = log_1,05(2/(2-1)) ~= 14,2

geloescht schrieb:

(ba^n)-c = a^n | / a^n
(ba^n)/an - c/a^n = 1
b - c/a^n = 1 | -1 + c/a^n
b-1 = c/a^n |* a^n
(b-1)*a^n = c | /(b-1)
a^n = c/(b-1) | log_a
n = log_a(c/(b-1))

In deinem Fall:
n = log_1,05(2/(2-1)) ~= 14,2

Danke, das ist es!

Bashar

Es geht noch ein klitzekleines bisschen einfacher ...

(b*a^n)-c = a^n | -a^n+c
(b-1)a^n = c | / (b-1)
a^n = c/(b-1) | log_a
n = log_a c/(b-1)

k.A. warum ich das nicht gleich gesehen habe :xmas1:

Shinja

Wäre es in so einem Fall nicht hilfreich (für den Fall, dass man es nicht so sieht) einfach mal a^n=x zu setzen?
Aus b*a^n-c=an wird dann b*x-c=x, was die meisten hier ja wohl locker in einem Schritt lösen. Ich finde solche Substitutionen eigentlich immer recht hilfreich wenn man einfach nicht sieht was man machen soll. (Wenn man es eh sieht macht man es wie Bashar)

Gugi

Erm, ist es nicht trivial, oder hab ich was übersehen?

Aufgabe: 2*2ⁿ - 1 = 2ⁿ

--> (-2ⁿ) und 2ⁿ ausklammern
--> 2ⁿ*(2-1) - 1 = 0
--> 2ⁿ = 1
--> ln anwenden:
--> n * ln(2) = ln(1)
--> n = ^ln(1)/_ln(2)
--> ln(1) ist 0
--> n = 0

oder so:

2^(n+1)-1 = 2^n
1+2+...+2^n = 2^n      # geometrische Reihe 
Widerspruch für 2^n != 1, es folgt n = 0