4. 4 punkte bekannt einer gesucht

4 punkte bekannt einer gesucht

  • M

    Hi,

    Im 3D-Raum gibt es 4 Punkte(punkt a,b,c und d) die bekannt sind (jeweils x,y und z koordinaten) und einen der unbekannt ist (punkt z).
    Bekannt ist, dass punkt a von dem punkt z, x(+0) entfernt ist, punkt b x+m, punkt c x+n und punkt d x+o. gesucht ist letztendlich x (mit dem man dann die position des punkts ausrechnen kann). die strecken m,n und o sind bekannt.
    Ich hab überhaupt keine Idee wie man an das Problem rangehen sollte. Hab mal ein bisschen rumprobiert mit Kugelformen und so, ist aber nichts bei rausgekommen.

    Hat jemand ne Idee?

    Danke,

    Moritz

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  • ?

    Also du hast nur Strecken und Punkte und eine Abstandsbedingung.

    Mit den Strecken und Punkten würde ich erstmal ein Lineares-Gleichungssystem aufstellen und so weit wie möglich vereinfachen. Das setzt du dann in die Abstandsbedingung ein.

    Mehr kann ich dazu auch nicht sagen, weil mir deine Beschreibung nicht klar ist.

    Was ist x (+0)? Was ist das x? Die x-Koordinate eines Punktes oder noch ein Punkt. Wenn du x,y,z-Koordinaten verwendest, ist das doppeldeutig. Und x(+0) ist, wenn man es als x mal 0 auffasst 0. Meintest du das?

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  • M

    ja x ist ein bisschen verwirrend entschuldigung ich hätte es anders nennen sollen, da es keine x koordinate ist.
    x ist eine unbekannte strecke und jeder punkt(a,b,c,d) ist von dem unbekannten punkt z, die strecke x PLUS noch eine weitere strecke entfernt(nämlich m,n und o). Ein Punkt(a) hat zu z die entfernung x.

    Man könnte natürlich auch sagen, dass punkt a von punkt z x+l entfernt ist und dann später für l 0 einsetzen.
    und das x(+0) hab ich auch schlecht geschrieben. Mathematisch ist das natürlich 0*x=0 ich meinte aber, dass man genausogut x+0 schreiben kann (weil die anderen punkte ja x+m, x+n und x+o entfernt sind) aber das +0 natürlich weglassen kann.
    Also sollte ich schreiben:
    x+0 bzw. x

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  • ?

    mollitz schrieb:

    ja x ist ein bisschen verwirrend entschuldigung.
    x ist eine unbekannte strecke und jeder punkt(a,b,c,d) ist von dem unbekannten punkt z, die strecke x PLUS noch eine weitere strecke entfernt(nämlich m,n und o). Ein Punkt(a) hat zu z die entfernung x.

    Man könnte natürlich auch sagen, dass punkt a von punkt z x+l entfernt ist und dann später für l 0 einsetzen.

    Warum so kompliziert. Eindeutig wäre es, wenn du sagst, dass der Punkt z auf der Strecke x liegt.

    Btw. meinst du wirklich Strecke, oder meinst du Gerade?

    Und was verstehst du unter einer Strecke plus einen Punkt?

    Der Satz hier "Bekannt ist, dass punkt a von dem punkt z, x(+0) entfernt ist, punkt b x+m, punkt c x+n und punkt d x+o." macht absolut keinen Sinn. Das ist nicht mal ein vernünftiger Satz.

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  • M

    Ich meine eine Strecke.
    Obwohl eigentlich mein ich eine Entfernung. Tschuldigung bin nich so der Mathematiker. Also x ist eine Entfernung. und die wird mit einer weiteren Entfernung (m,n,o) addiert.
    Also bspw. punkt a ist von punkt z x LE entfernt. b ist von punkt z x+m LE entfernt und so weiter.

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  • ?

    Also um das mal zusammen zu fassen:

    Du hast a,b,c,d, z als Koordinaten von Punkten im 3-Dimensionalen (R^3)
    x, m, n, o sind Reele Zahlen, also Skalare und Charakterisieren einen Abstand.

    Wenn ich jetzt den Abstand der Punkte a, b, als dist(a, b) notiere, sollte sich folgendes ergeben:

    dist(a, z) = x
    dist(b, z) = x + m
    dist(c, z) = x + n
    dist(d, z) = x + o

    Gegeben sind a, b, c, d, m, n und o.
    Gesucht sind also z und x.

    Ist das soweit richtig? Oder fehlt noch was?

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  • M

    Genau das wollte ich sagen!

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  • V

    dist(a, z) = x
    dist(b, z) = x + m
    dist(c, z) = x + n
    dist(d, z) = x + o

    x2:=x^2

    dist(a, z) = x
    (ax-zx)2+(ay-zy)2+(az-zz)^2=x2
    ax2-2axzx+zx2+ay2-2ayzy+zy2+az2-2azzz+zz2=x2
    -2ax*zx -2ay*zy -2az*zz - x2 = -ax^2 -ay^2 -az^2
    das ist eine zeile fürs LGS. variabel sind nur zx, zy, zz und x2
    brauchst also 4 gleichungen. passt eigentlich.
    hab ein gutes gefühl dabei, denke, es geht bis zum ende so durch.

    dist(b, z) = x + m
    bx2-2bxzx+zx2+by2-2byzy+zy2+bz2-2bzzz+zz2=x2 + 2mx + m^2
    mist. neue variable x.
    zusammenhang ist klar.
    x^2=x2
    aber das ist kein LGS mehr.
    was nun?

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  • M

    Hi,

    Das ging ein bisschen schnell.

    x2:=x^2
Wofür steht :=

dist(a, z) = x
(ax-zx)^2+(ay-zy)^2+(az-zz)^2=x2 
Wie kommt man hierhin?
Wie kann man einen Punkt mit einer Entfernung malnehmen?
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  • V

    mollitz schrieb:

    Hi,
    Das ging ein bisschen schnell.
    x2:=x^2
    Wofür steht :=

    x2 sei ein neuer name für x hoch 2

    dist(a, z) = x
    (ax-zx)2+(ay-zy)2+(az-zz)^2=x2

    dist(a,z)=wurzel((ax-zx)2+(ay-zy)2+(az-zz)^2)=x
    auf beiden seiten quadriert, um die wurzel loszuwerden.
    danach die 2. binomische fürmel.
    ax steht für die x-koordinate des punktes a.

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  • M

    ah okay. habs verstanden.

    wie löst man dann das LGS (hatte das noch nicht, sry 😉 )
    und was macht man mit den anderen 3 gleichungen
    bx2-2bxzx+zx2+by2-2byzy+zy2+bz2-2bzzz+zz2=x2 + 2mx + m^2 ?

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  • ?

    mollitz schrieb:

    ah okay. habs verstanden.

    wie löst man dann das LGS (hatte das noch nicht, sry 😉 )

    LGS ist Lineares Gleichungs-System. Es ist nur dummerweise kein lineares. Dann wäre es nämlich einfacher.

    mollitz schrieb:

    und was macht man mit den anderen 3 gleichungen
    bx2-2bxzx+zx2+by2-2byzy+zy2+bz2-2bzzz+zz2=x2 + 2mx + m^2 ?

    Die Aufgabe ist es, Werte zu finden, die alle Bedingungen erfüllen. Du formst also die Gleichungen so um, dass du Beziehungen zwischen den verschiedenen Variablen ausnutzt, um so auf den Wert zu kommen. Aber wenn du nicht weißt, wie man Gleichungssystem löst, dann ist das jetzt schwierig zu erklären.

    Was du alternativ machen kannst: Gib die Gleichungen in ein Computer-Algebra-System ein und lass dir die Lösung ausgeben. Das ist aber auch nicht trivial.

    Oder du Zeichnest das ganze mal. Ist im 3-Dimensionalen natürlich nicht so einfach. Aber du kannst es ja einmal von oben und einmal von der Seite Zeichnen und dann gucken. Die Abstände kannst du einfach als Radius malen. Und da wo sich alles schneidet ist halt der Wert, den du suchst. Den Wert ließt du an der Zeichnung ab und zeigst, dass er alle Gleichungen erfüllt.

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  • M

    Hab das ganze mal in maxima eingetragen, da kommt folgendes raus:

    (%i9) solve([-2*ax*zx -2*ay*zy -2*az*zz - x2 = -ax^2 -ay^2 -az^2], [x2,zx,zy,zz]);
(%o9) [[x2=az^2-2*%r4*az+ay^2-2*%r5*ay+ax^2-2*%r6*ax,zx=%r6,zy=%r5,zz=%r4]]

    Kann mir einer sagen wofür die %n-Bezeichnungen stehen?

    Kann es sein, dass letztendlich überhaupt nicht möglich ist die Gleichungen eindeutig zu lösen, oder kann man das ausschließen?

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  • ?

    mollitz schrieb:

    Kann es sein, dass letztendlich überhaupt nicht möglich ist die Gleichungen eindeutig zu lösen, oder kann man das ausschließen?

    Es kann durchaus sein, dass du keine Lösung bekommst. Oder ganz viele. Sobald auch nur quadratische Gleichungssystem auftauchen, werden die Lösungsmengen wirklich ekelig. Gerade auf dem Gebiet der Algebraischen Geometrie (Lösungen von polynomialen Gleichungssystemen) gibt es noch ohne Ende ungelöste Probleme.

    Zu Maxima: Du musst irgendwie alle 4 Gleichungen gleichzeitig übergeben. Eine reicht nicht.

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  • M

    mollitz@mollitz-laptop:~$ maxima

    Maxima 5.13.0 http://maxima.sourceforge.net
    Using Lisp GNU Common Lisp (GCL) GCL 2.6.8 (aka GCL)
    Distributed under the GNU Public License. See the file COPYING.
    Dedicated to the memory of William Schelter.
    This is a development version of Maxima. The function bug_report()
    provides bug reporting information.
    (%i1) solve([-2*ax*zx -2*ay*zy -2*az*zz - x^2 = -ax^2 -ay^2 -az^2, bx2-2*bx*zx+zx2+by^2 -2*by*zy+zy2+bz2-2*bz*zz+zz2=x2 + 2*mx + m^2, cx2-2*cx*zx+zx2+cy2-2*cy*zy*zy2 +cz2-2*cz*zz+zz2=x2+2*n*x+n2,dx2-2*dx*zx+zx2+dy2-2*dy*zy*zy2+dz^2-2*dz*zz +zz2=x2+2*o*x+o^2], [x,zx, zy, zz]);

    Unrecoverable error: invocation history stack overflow.
    Aborted
    mollitz@mollitz-laptop:~$

    Die Syntax stimmt doch warum macht er das nich durch?

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