Kompakter Träger?

Phoemuex

Wir haben bei uns in Analysis für $U \subset \mathbb{R}^n$ und $f : U \rightarrow \mathbb{R}$ den Träger von f definiert als $\text{supp}(f) := \overline{ \left \{ x \in U; f(x) \neq 0 \right \} }$ .

In einem Beweis ist jetzt $U' \subset \mathbb{R}^{n-1}$ offen, $I = ( \alpha, \beta ) \subset \mathbb{R}$ ein offenes Intervall und $g : U' \rightarrow I$ eine stetig differenzierbare Funktion, sowie $f : U' \times I \rightarrow \mathbb{R}$ eine Funktion mit kompaktem Träger $K = \text{supp}(f)$ und $K \subset U' \times I$ . Innerhalb des Beweises wird dann behauptet, dass die Funktion

$\phi : \mathbb{R}^{n-1} \rightarrow \mathbb{R}, x' \mapsto \int_{\alpha}^{g(x')} f(x', x\_n) d x\_n$

kompakten Träger in $U'$ hätte... Das ist mir aber nicht ganz klar, habt ihr dafür vielleicht eine Idee?

Felix

EDIT: Man könnte vielleicht darüber gehen, dass die Funktion mindestens dann verschwindet, wenn ${x'} \times (\alpha, g(x')) \cap K = \emptyset$ wäre, aber selbst dann sehe ich es immer noch nicht.

ich würde ja gern antworten, aber der latexcode wird nicht dargestellt

Phoemuex

Ok, dann nochmal in hässlich

Wir haben bei uns in Analysis für U Teilmenge R^n und f : U -> R den Träger von f definiert als supp(f) := Abschluss von {x in U ; f(x) != 0}.

In einem Beweis ist jetzt U' Teilmenge R^n-1 offen, I = (alpha, beta) Teilmenge R ein offenes Intervall und g : U' -> I eine stetig differenzierbare Funktion, sowie f : U' x I -> R eine Funktion mit kompaktem Träger K = supp(f) und K Teilmenge U' x I. Innerhalb des Beweises wird dann behauptet, dass die Funktion

phi : U' -> R, x' |-> int_{alpha}^{g(x')} f(x', x_n) d x_n

kompakten Träger in U' hätte... Das ist mir aber nicht ganz klar, habt ihr dafür vielleicht eine Idee?

Felix

EDIT: Man könnte vielleicht darüber gehen, dass die Funktion mindestens dann verschwindet, wenn {x'} x (alpha, g(x')) geschnitten K leer wäre, aber selbst dann sehe ich es immer noch nicht.

EDIT: Definitionsbereich von phi geändert.

@sdfsds: Hast natürlich recht, im Skript war kein Definitionsbereich angegeben, dann habe ich den beim Tippen schnell (falsch) ergänzt...

So, wie das dasteht, ist phi nur auf U' definiert, weil g es ist.

Jover

Man könnte doch K darstellen als K=K1 x K2, mit K1\subset U' und K2\subset (alpha, beta), wobei K1 und K2 ebenfalls kompakt sind. (Das geht doch oder?)

Dann muss aber sicher supp(phi)\subseteq K1 gelten.
Im IR^n ist die Kompaktheit einer Menge aber äquivalent mit deren Beschränktheit und Abgeschlossenheit. supp(phi) ist trivialerweise abgeschlossen, und da supp(phi) Teilmenge der kompakten Menge K1 ist, muss sie auch Beschränkt sein.

Damit ergibt sich supp(phi) als kompakt.
Stimmt meine Argumentation so?

EDIT: Meine erste Aussage ist i.A. nicht richtig.

EDIT2: Aber man kann sagen, dass K\subseteq K1 x [alpha, beta] gilt und mit diesem (kompakten) K1 müsste man dann durchkommen.

Phoemuex schrieb:

EDIT: Definitionsbereich von phi geändert.

@sdfsds: Hast natürlich recht, im Skript war kein Definitionsbereich angegeben, dann habe ich den beim Tippen schnell (falsch) ergänzt...

und der definitionsbereich von g? Wenn g Punkte aus U' - U nach I sendet, wird der Träger von phi i.A. größer als U' sein.

Entschuldige, falsch gelesen. Wenn x' nicht in U' ist, ist der Integrand 0.