Lineare Abbildungen von Vektorräumen der reellen Polynome

sevobal

Hallo zusammen,
Sitze grade vor einer Aufgabe zum Thema lineare Abbildung und Polynomen. Das Problem, dass ich gerne lösen würde, lautet:

Sei P3 der Vektorraum der reellen Polynome vom Grad kleiner gleich 3.
Nun will ich gerne zeigen, dass die Abbildung L: P3 -> P3 mit L(p(x)) = p(x) - x * p'(x) eine lineare Abbildung ist. Wie genau sollte ich da vorgehen? Wie immer gilt, dass ich mathematisch nicht der bewanderste Mensch bin und daher eventuell ein Beispiel benötige.

Ein Hinweis noch, der glaube ich aber nicht wichtig für die Problemlösung ist:
p(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d -> p´(x) = 3ax^2 + 2bx + c

Vielen Dank für eure Hilfestellung im Voraus!

Gruß
SeVo

leech

einfach mal versuchen die eigenschaften einer linearen abbildung zu zeigen...
also:
1)L(p(x) + g(x)) = L(p(x)) + L(g(x)), wobei grad g(x) <= 3
2)L(a*p(x)) = a*L(p(x)) , wobei a element aus |R ist

sevobal

Okay, dank dir, werde ich mal versuchen und das Ergebnis meiner Bemühungen dann hier posten

sevobal

Also ich wähle nun für x z.B. die Zahl 2,5 und für a die Zahl 1,5 und komme dann zu folgendem Schluss:

L(p(2,5) + g(2,5)) = L(p(2,5)) + L(g(2,5)), sowie
L(1,5 * p(2,5)) = 1,5 * L(p(2,5))

Ist das soweit korrekt?

Bashar

Du musst es allgemein zeigen.

sevobal schrieb:

Also ich wähle nun für x z.B. die Zahl 2,5 und für a die Zahl 1,5 und komme dann zu folgendem Schluss:

L(p(2,5) + g(2,5)) = L(p(2,5)) + L(g(2,5)), sowie
L(1,5 * p(2,5)) = 1,5 * L(p(2,5))

Ist das soweit korrekt?

Mach es doch nicht komplizierter als es ist, du zeigst einfach:
L(p+q)=L(p)+L(q)
L(a*p)=a*L(p)

wobei p,q € P3 und a eine reelle Zahl ist.

Das ist einfach nur Einsetzen, Distributivität und Linearität der Ableitung nutzen und das Ergebnis hinschreiben.

Das einzige was dich verwirren könnte ist das x bei xp'(x), das kannst du einfach als Konstante betrachten, denn in mathematisch schöner Notation würde L so aussehen:
L(p)=p-idp'

und dann ist auch klar wie L(p+q) aussieht:
L(p+q)=(p+q)-id*(p+q)'
Das Ausrechnen überlasse ich allerdings dir.

wobei id die Identität ist, das ist bei den Polynomen id(x)=x (im Koordinatensystem ist das die Winkelhalbierende).

Christoph

Mathematikker schrieb:

Das einzige was dich verwirren könnte ist das x bei xp'(x), das kannst du einfach als Konstante betrachten, denn in mathematisch schöner Notation würde L so aussehen:
L(p)=p-idp'

Ich würde lieber mit x rechnen. Denn id anstelle x zu schreiben, das funktioniert nur, weil es um reelle Zahlen geht.

Allgemein sind Polynome keine Abbildungen. Jedes Polynom liefert eine Abbildung (die, bei der man für x eine Zahl einsetzt), aber zwei unterschiedliche Polynome müssen nicht unbedingt unterschiedliche Abbildungen liefern. In den reellen Zahlen stimmt es zwar, aber warum einschränken, wenn es allgemein ganz genauso geht?

Christoph schrieb:

Mathematikker schrieb:

Das einzige was dich verwirren könnte ist das x bei xp'(x), das kannst du einfach als Konstante betrachten, denn in mathematisch schöner Notation würde L so aussehen:
L(p)=p-idp'

Ich würde lieber mit x rechnen. Denn id anstelle x zu schreiben, das funktioniert nur, weil es um reelle Zahlen geht.

Allgemein sind Polynome keine Abbildungen. Jedes Polynom liefert eine Abbildung (die, bei der man für x eine Zahl einsetzt), aber zwei unterschiedliche Polynome müssen nicht unbedingt unterschiedliche Abbildungen liefern. In den reellen Zahlen stimmt es zwar, aber warum einschränken, wenn es allgemein ganz genauso geht?

id ist auch ein Polynom, ich habe es nur bei der Erklärung instanziiert, als ich id(x)=x geschrieben habe...

Christoph

Mathematikker schrieb:

Christoph schrieb:

Mathematikker schrieb:

Das einzige was dich verwirren könnte ist das x bei xp'(x), das kannst du einfach als Konstante betrachten, denn in mathematisch schöner Notation würde L so aussehen:
L(p)=p-idp'

Ich würde lieber mit x rechnen. Denn id anstelle x zu schreiben, das funktioniert nur, weil es um reelle Zahlen geht.

Allgemein sind Polynome keine Abbildungen. Jedes Polynom liefert eine Abbildung (die, bei der man für x eine Zahl einsetzt), aber zwei unterschiedliche Polynome müssen nicht unbedingt unterschiedliche Abbildungen liefern. In den reellen Zahlen stimmt es zwar, aber warum einschränken, wenn es allgemein ganz genauso geht?

id ist auch ein Polynom, ich habe es nur bei der Erklärung instanziiert, als ich id(x)=x geschrieben habe...

Nein, eben nicht. "id" ist die Identitätsabbildung, kein Polynom. Das Polynom "x" induziert zwar diese Abbildung, aber es kann auch noch ganz andere Polynome geben, die ebenfalls "id" induzieren.

Wenn man in Z/2Z rechnet, hat das Polynom f(x) = x^2 die folgende Wertetabelle:
f(0) = 0^2 = 0
f(1) = 1^2 = 1.

Weil 0 und 1 die einzigen beiden Elemente von Z/2Z sind, induzieren "x^2" und und "x" also beide dieselbe Abbildung, nämlich "id". Wenn man jetzt nur "id" hinschreibt, ist überhaupt nicht klar, welches dieser Polynome gemeint ist. Dewegen ist es falsch zu sagen "id" sei ein Polynom.

In den reellen Zahlen kann das zwar nicht passieren, aber es ist IMHO selten vorteilhaft, mit den induzierten Abbildungen zu rechnen anstelle mit den Polynomen selbst.