Äquivalenzrelation

Hallo!

M sei eine Menge, R eine Äquivalenzrelation auf M und V $\in$ M eine Teilmenge von M.
Zeigen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind:
(i) V ist ein vollständiges Vertretersystem (modulo R).
(ii) Zu jedem x $\in$ M gibt es genau ein v $\in$ V mit x~v mod R.

Beweis:
V ist ein vollständiges Vertretersystem <=> Es gibt eine bijektive Abbildung Π_R/V:V→M/R
<=> Zu jedem x $\in$ M gibt es genau ein v $\in$ V mit Π_R(v) = [x]

Nun komme ich nicht weiter: wie zeige ich, das x~v mod R gilt?
Warum muss das v mit dem x die Äquivalenzrelation erfüllen, obwohl nichts über die Abbildungsvorschrift bekannt ist?

Gruß,
m.

überlege mal, was "V ist vollständiges Vertretersystem" bedeutet:

V enthält aus jeder Äquivalenzklasse von M/~ genau ein Element (einen "Vertreter").

Für die Äquiv.Klasse x/~ eines beliebigen x in M gibt es also genau ein v in V mit v in x/~, und "v in x/~" heißt nichts Anderes als x ~ v.

Relevante Eigenschaften von Äquiv.Relationen ~ auf einer Menge M sind hier:

1. M zerfällt vollständig in paarweise disjunkte Äquiv.Klassen bzgl. ~
2. x ~ y <=> x in y/~ <=> x/~ = y/~
3. zwei Äquiv.Klassen sind entweder identisch oder disjunkt

u_ser-l schrieb:

Für die Äquiv.Klasse x/~ eines beliebigen x in M gibt es also genau ein v in V mit v in x/~, und "v in x/~" heißt nichts Anderes als x ~ v.

Die kanonische Abbildung ordnet also jedem Element aus M die Äquivalenzklasse dieses Elements zu: x $\longmapsto$ [x].

zu tun hat ... naja ...

wenn ich mich nicht irre(wenn doch, bitte verbessern), ist v = x und [v] = [x], also auch v ~ x.
Dann ist das ja einfach.

u_ser-l schrieb:

1. M zerfällt vollständig in paarweise disjunkte Äquiv.Klassen bzgl. ~

wie meinst du das mit paarweise. es ist doch jede äqui-klasse mit allen anderen disjunkt, weil hier die abbildung bijektiv ist(vollständiges vertretersystem).

oder meinst du etwas anderes?

Jester

stubenhocker schrieb:

u_ser-l schrieb:

1. M zerfällt vollständig in paarweise disjunkte Äquiv.Klassen bzgl. ~

wie meinst du das mit paarweise. es ist doch jede äqui-klasse mit allen anderen disjunkt, weil hier die abbildung bijektiv ist(vollständiges vertretersystem).

oder meinst du etwas anderes?

Die Mengen {1,2},{2,3},{1,3} sind disjunkt: Der Schnitt ist leer, aber sie sind nicht paarweise disjunkt.

stubenhocker schrieb:

wie meinst du das mit paarweise. es ist doch jede äqui-klasse mit allen anderen disjunkt,

wie Jester schon geschrieben hat.

wichtig ist, daß Äquivalenzrelationen ~ die Eigenschaft haben, daß je zwei Äquiv.Klassen entweder identisch oder disjunkt sind (d.h. sobald sie ein gemeinsames Element haben, sind beide Klassen identisch).

Das folgt direkt aus der Definition von "Äquiv.Relation":

sind x, y beliebige Elemente in M, und sind x/~ und y/~ nicht disjunkt - etwa, weil sie beide das Element z enthalten - dann ist x/~ = y/~

(denn:

a in x/~ 
=> a ~ x und z ~x nach Vorauss. 
=> a ~ z (Transitivität von ~) und z ~ y nach Vorrauss. 
=> a ~ y (Transitivität von ~) 
=> a in y/~ 
- und ganz ähnlich beweist man: b in y/~ => b in x/~. Zusammen gilt also x/~ = y/~.

)

Vielen Dank für die Beiträge
Mir ist dadurch vieles klar geworden !