Schnitt und Vereinigung beliebig vieler Mengen

Michael E.

Hallo,

angenommen ich habe (möglicherweise überabzählbare) Indexmengen J_i für alle i in {1, 2, ..., n}, S_k Mengen und m_j natürliche Zahlen. Kann ich den Ausdruck

$\bigcap_{i=1}^n \left(\bigcup_{j\in J\_i} \left(\bigcap\_{k=1}^{m\_j} S\_k\right)\right)$

so umformen, dass die beiden Schnitt-Zeichen nebeneinander stehen?

MfG

Michael E.

Christoph

Michael E. schrieb:

angenommen ich habe (möglicherweise überabzählbare) Indexmengen J_i für alle i in {1, 2, ..., n}, S_k Mengen und m_j natürliche Zahlen. Kann ich den Ausdruck

$\bigcap_{i=1}^n \left(\bigcup_{j\in J\_i} \left(\bigcap\_{k=1}^{m\_j} S\_k\right)\right)$

so umformen, dass die beiden Schnitt-Zeichen nebeneinander stehen?

Disclaimer: Hab gerade wenig Zeit, genauer drüber nachzudenken. Das was unten steht, könnte falsch sein.

Mein spontaner Vorschlag wäre folgendes: Der innerste Schnitt läuft über k=1 bis m_j. Dieser Schnitt wird nur kleiner (im Sinne von Mengeninklusion), wenn m_j größer wird. Er ist maximal, wenn der obere Index min {m_j | j \in J_i} ist. Also kann man die Vereinigung ganz weglassen und den Ausdruck äquivalent so schreiben:

$\bigcap_{i=1}^n\bigcap_{k=1}^{\min \{m\_j \mid j \in J\_i\}} S_k$

(Annahme: Es gibt kein J_i, das leer ist).

Achso, min {m_j | j \in J_i} ist wohldefiniert, weil das eine Teilmenge der natürlichen Zahlen ist.

Das kann man auch noch weitertreiben und schreiben:

$\bigcap_{i=1}^{\max \{ \min \{m\_j \mid j \in J\_i\} \mid 1 \leq i \leq n \}} S_k$

Ach verdammt, da hab ich noch nen Index vergessen.

$\bigcap_{i=1}^n \left(\bigcup_{j\in J\_i} \left(\bigcap\_{k=1}^{m\_j} S\_{j_k}\right)\right)$

Also es müssen nicht dieselben S_1, S_2, ... sein, sie sind nur aus derselben Familie.