Differentialgleichung: Probe haut nicht hin

Hallo alle zusammen,

ich habe hier eine eigentlich recht einfache Differentialgleichung, an welcher ich mir seit einem Tag die Zähne ausbeiße. Ich habe sie auf inzwischen 4 verschiedenen Wegen gerechnet und bin immer zum selben Ergebnis gekommen. Mache ich jedoch die Probe, scheint meine Lösung die DGL nicht zu erfüllen.

Vielleicht hat jemand kurz Zeit und Lust, einen Blick auf meinen Ansatz werfen und mir zu sagen, wo genau ich den entscheidenden Fehler mache?

$ 2y' + 5y = 2 + 5x \\ \Rightarrow y' = 1 + \frac{5}{2}x - \frac{5}{2}y \\ \\ \text{Sei } u = y' \\ \Rightarrow u' = \frac{5}{2}-\frac{5}{2}y' \\ \Leftrightarrow y' = 1 - \frac{2}{5}u' \\ \\ y' = 1 + \frac{5}{2}x - \frac{5}{2}y \\ \Leftrightarrow 1 - \frac{2}{5}u' = u \Leftrightarrow 1 - \frac{2}{5}\frac{du}{dx} = u \Leftrightarrow \frac{2}{5}\frac{du}{dx} = 1 - u \Leftrightarrow \frac{du}{dx} = \frac{5}{2} - \frac{5}{2}u \Leftrightarrow dx = \frac{du}{\frac{5}{2} - \frac{5}{2}u} \\ \Leftrightarrow \int dx = \int \frac{du}{\frac{5}{2} - \frac{5}{2}u} \Leftrightarrow x + \ln{|C|} = \ln{|\frac{5}{2} - \frac{5}{2}u|} \Leftrightarrow x = \ln{|\frac{\frac{5}{2} - \frac{5}{2}u}{C}|} \Leftrightarrow \pm e^{x} = \frac{\frac{5}{2} - \frac{5}{2}u}{C} \\ \Leftrightarrow \pm Ce^{x} = \frac{5}{2} - \frac{5}{2}u \Leftrightarrow \pm Ce^{x} - \frac{5}{2} = -\frac{5}{2}u \Leftrightarrow u = \pm \frac{2}{5}Ce^{x} + 1 \\ \\ \text{Rücksubstituiert:} \\ \Leftrightarrow 1 + \frac{5}{2}x - \frac{5}{2}y = \pm \frac{2}{5}Ce^{x} + 1 \Leftrightarrow \frac{5}{2}x - \frac{5}{2}y = \pm \frac{2}{5}Ce^{x} \Leftrightarrow -\frac{5}{2}y = \pm \frac{2}{5}Ce^{x} - \frac{5}{2}x \\ \Leftrightarrow y = x \pm \frac{4}{25}Ce^{x} \\ \\ \Rightarrow \text{Allgemeine Lösung: } y = x + Ae^x $

Mache ich nun die Probe und setze etwa A = 5, dann folgt:

$ y = x + 5e^x \\ y' = 1 + 5e^x \\ 2y' + 5y = 2(1+5e^x) + 5(x + 5e^x) = 35e^x + 5x + 2 \not= 5x + 2 \\ $

Ich hoffe, beim Aufschreiben mit LaTeX hat sich kein neuer Fehler eingeschlichen. Ansonsten komme ich aber wirklich nicht drauf, was ich falsch mache

Vieeelen Dank im voraus schonmal

Beste Grüße,
Frank

Hallo,

ups, peinlich. Integrieren müsste man können

$ \int \frac{du}{\frac{5}{2} - \frac{5}{2}u} = - \frac{2}{5}\ln{|\frac{5}{2} - \frac{5}{2}u|} $

Trotzdem danke. Bin ich nu wenigstens in LaTeX wieder etwas fitter