4. Existiert die Ableitung im Ursprung?

Existiert die Ableitung im Ursprung?

  • S

    Es geht um die Funktion

    f\left( {x,y} \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} \frac{{x \cdot y}} {{x^2 +y^2 }} & {\text{falls }}\left( {x,y} \right) \ne \left( {0,0} \right) \\ 0 & {\text{falls }}\left( {x,y} \right) = \left( {0,0} \right) \\\end{array} } \right.

    Die Ableitungen für überall außer dem Ursprung sind:

    ∂f∂x=y⋅(x2+y2)−x⋅y⋅2x(x2+y2)2=y⋅x2+y3−2⋅y⋅x2(x2+y2)2=y3−y⋅x2(x2+y2)2\frac{{\partial f}} {{\partial x}} = \frac{{y \cdot \left( {x^2 +y^2 } \right)-x \cdot y \cdot 2x}} {\left({x^2 +y^2 }\right)^2} = \frac{{y \cdot x^2 +y^3 -2 \cdot y \cdot x^2 }} {\left({x^2 +y^2 }\right)^2} = \frac{{y^3 -y \cdot x^2 }} {\left({x^2 +y^2 }\right)^2}

    und

    ∂f∂y=x⋅(x2+y2)−y⋅x⋅2y(x2+y2)2=x⋅y2+x3−2⋅x⋅y2(x2+y2)2=x3−x⋅y2(x2+y2)2\frac{{\partial f}} {{\partial y}} = \frac{{x \cdot \left( {x^2 +y^2 } \right)-y \cdot x \cdot 2y}} {\left({x^2 +y^2 }\right)^2} = \frac{{x \cdot y^2 +x^3 -2 \cdot x \cdot y^2 }} {\left({x^2 +y^2 }\right)^2} = \frac{{x^3 -x \cdot y^2 }} {\left({x^2 +y^2 }\right)^2}

    Aber die Frage ist jetzt, ob die Ableitung im Ursprung existiert. Muss man dafür den Grenzwert bilden? Oder prüft man das irgendwie anders? Hab das im ersten Semester mal gelernt und wieder vergessen 😞

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  • ?

    Soweit ich mich noch ans erste Semester erinnere ist eine Funktion im Punkt x differenzierbar, wenn:

    1. Die Funktion im Punkt x definiert ist.
    2. Der rechtsseite Grenzwert gleich dem linksseitigen Grenzwert ist.
    3. Der Grenzwert dem Funktionswert entspricht.

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  • S

    Das bedeutet, wenn sie unstetig in (0,0) ist, was ja (2.) widerspricht, dann ist sie da auch nicht differenzierbar?

    //Edit: Ich weiß nämlich schon, dass sie da nicht stetig ist, das würde weitere Betrachtungen ersparen.

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  • ?

    snOOfy schrieb:

    Das bedeutet, wenn sie unstetig in (0,0) ist, was ja (2.) widerspricht, dann ist sie da auch nicht differenzierbar?

    Exakt!

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  • B

    KasF schrieb:

    Soweit ich mich noch ans erste Semester erinnere ist eine Funktion im Punkt x differenzierbar, wenn:

    1. Die Funktion im Punkt x definiert ist.
    2. Der rechtsseite Grenzwert gleich dem linksseitigen Grenzwert ist.
    3. Der Grenzwert dem Funktionswert entspricht.

    Das sind die Bedingungen für die Stetigkeit einer Funktion einer Variable...

    Davon ab ist Stetigkeit natürlich eine notwendige Voraussetzung für Differenzierbarkeit, also wenn f nicht stetig ist, schon gar nicht differenzierbar.

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  • ?

    Bashar schrieb:

    Das sind die Bedingungen für die Stetigkeit einer Funktion einer Variable...

    Stimmt, ist doch was lange her. Du könntest auch sagen, dass eine Funktion im Punkt x differenzierbar ist wenn der folgende Grenzwert exisitiert:

    limΔx→0f(x_0+Δx)−f(x_0)Δx\lim\limits_{\Delta{x} \rightarrow 0}{ \frac{f(x\_0+\Delta{x})-f(x\_0)}{\Delta{x}}}

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  • ?

    Betrachte f(t,t) und f(t,-t).

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