Induktion innerhalb einer Induktion ?(Mathematik)

Hey Leute,

folgende Frage : Es wird doch wohl erlaubt sein, innerhalb einer Induktion eine weitere zu starten ?! Jemand meinte zu mir, dass das nicht erlaubt sein würde. Allerdings kann er das wohl nicht so wirklich begründen. Er meinte irgendwas mit " es würde die Vorraussetzung verändern" .

Um ein konkretes Beispiel zu nennen :
Behauptung : 3|n^4 - 4n^2 (gesprochen : 3 teilt ...(ganzzahlig) )
IB : 1 - 4 = -3 -> stimmt
IV : 3|n^4 - 4n^2
IS : (n+1)^4 - 4(n+1)^2
Ausmultipliziert und nach Einbaung der IV : (n^4-4n2) + 4n^3 + 6n^2 -4n -3
Für die fetten Teile braucht man nicht mehr zu beweisen, dass sie durch 3 teilbar ist. Das eine ist die IV und das andere eine Subtraktion von einem Vielfachen von 3 -> Ändert nichts an der Teilbarkeit durch 3.
Damit bleibt übrig : 4n^3 + 6n^2 -4n, umgeformt : 2n[ (2n-1)(n+2) ]
Da ich damit aber nicht viel anfangen kann habe ich für die ausmultiplizierte Form wieder eine Induktion gemacht.
IB : 4+6-4 = 3 -> stimmt
IV : 3|4n^3 + 6n^2 -4n
IS : 4(n+1)^3 + 6(n+1)^2 -4(n+1)
Ausmultipliziert und ausgeklammert : (4n^3 + 6n^2 -4n) + 4*3n(n+12)
Da der 2. Summand ja ein Vielfaches von 3 ist wird er auch durch 3 teilbar sein -> q.e.d

Darf man das also so machen ?

Mfg

XFame

Natuerlich ist eine Induktion in einer Induktion erlaubt. Wenn dieses Verschachteln Probleme macht, kannst du deine zweite Aussage, die du spaeter brauchst, auch einfach vorher beweisen und dann einfach zitieren.

Nebenbei: 2n[ (2n-1)(n+2) ] muss durch 3 teilbar sein:

- Ist n durch 3 teilbar, ist der Ausdruck klarerweise auch durch 3 teilbar
- Laesst n den Rest 1 bei Division durch 3, ist der letzte Faktor durch 3 teilbar
- Laesst n den Rest 2 bei Division durch 3, ist der zweite Faktor durch 3 teilbar

LG

Michael E.

Induktion schrieb:

Ausmultipliziert und nach Einbaung der IV : (n^4-4n2) + 4n^3 + 6n^2 -4n -3

Wenn du dich bis hierhin nicht verrechnet hast, geht das Ganze auch einfacher. Die fetten Teile hast du ja schon richtig erkannt. 6n^2 muss auch durch 3 teilbar sein, da 6 durch 3 teilbar ist. Bleibt noch 4n^3 - 4n = 4n(n^2 - 1) = 4n(n+1)(n-1). Dadurch hast du drei konsekutive Faktoren.

Ah ja, da habt Ihr natürlich recht ^^ Sowas sehe ich nur leider nicht immer, bzw. komme nicht darauf
Vor allem wenn die Induktionsaufgaben schwerer sind . . ., kann manchmal vorkommen, dass man die IV doppelt einbauen muss, wurde mir gesagt.
Mir sind Ungleichungen schon schwer genug.

Nochwas : Jemand meinte, dass die Induktion ein eher umstrittenes Beweisverfahren ist. Stimmt das ? Habt ihr von der Behauptung schonmal gehört ?

Michael E.

Induktion schrieb:

Nochwas : Jemand meinte, dass die Induktion ein eher umstrittenes Beweisverfahren ist. Stimmt das ? Habt ihr von der Behauptung schonmal gehört ?

Das ist Blödsinn. Induktion gehört zum täglichen Handwerk und ist nicht wegzudenken. Man kann allerdings leichter Fehler einbauen.Schonmal den Beweis gesehen, dass alle Menschen dieselbe Augenfarbe haben?

War das eine ernst gemeinte Frage ?

XFame

Michael E. schrieb:

Induktion schrieb:

Nochwas : Jemand meinte, dass die Induktion ein eher umstrittenes Beweisverfahren ist. Stimmt das ? Habt ihr von der Behauptung schonmal gehört ?

Das ist Blödsinn. Induktion gehört zum täglichen Handwerk und ist nicht wegzudenken.

Manche Leute sagen auch, dass ihnen das Prinzip des Widerspruchbeweises nicht gefaellt (Stichwort Konstruktivismus). Kommt halt drauf an, welche Schlussregeln und Axiome man akzeptiert. Das ist dann natuerlich eher eine Glaubensfrage.

Nichtsdestoweniger ist es aber so, dass man gemeinhin nicht bei sowas rummosert.

Michael E.

XFame schrieb:

Manche Leute sagen auch, dass ihnen das Prinzip des Widerspruchbeweises nicht gefaellt (Stichwort Konstruktivismus).

Dass jemand Widerspruchsbeweise nicht akzeptiert, habe ich noch nicht gehört Ich kenn das nur mit dem Auswahlaxiom.

Jester

Michael E. schrieb:

XFame schrieb:

Manche Leute sagen auch, dass ihnen das Prinzip des Widerspruchbeweises nicht gefaellt (Stichwort Konstruktivismus).

Dass jemand Widerspruchsbeweise nicht akzeptiert, habe ich noch nicht gehört Ich kenn das nur mit dem Auswahlaxiom.

Letztlich ist das nichts anderes als die Ablehnung des tertium non datur.

XFame

Nicht ganz, oder? Schliesslich muss man doch auch noch non(non(A)) ==> A ablehnen.
Aber ich will jetzt keine ellenlange Diskussion vom Zaun brechen. Fakt ist, dass Induktion taeglich Brot ist.

Bashar

Das ist aber eine andere Baustelle. Induktion ist vollkommen konstruktiv. Praktisch ein rekursiver Algorithmus rückwärts gedacht.