Kurvenintegral
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Hallo
Kann mir bitte jemand erklären, wie ich ein Kurvenintegral berechne?
Bsp.:
∫ P dx + Q dx
P = x^2 + y^2, Q = x * y
einmal die Strecke (a) AB: A(0,0) B(2,2) und einmal mit (b) Parabelbogen y = x^2 / 2.
(a) Wie komme ich auf die Parametrisierung: x(t)=2t, y(t)=2t ??? , dx=dy=2dt
Und wie sind die Grenzen am Integral zu berechnen??? (hier von 0 zu 1)
Und leider ist mir auch die Integration nicht ganz klar...
I = ∫ 2 * (2t)^2 * 2 dt + (2t) * (2t) * 2 dt = ... wie komme ich auf 24 ∫ t^2 dt ?
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inte schrieb:
(a) Wie komme ich auf die Parametrisierung: x(t)=2t, y(t)=2t ??? , dx=dy=2dt
Du kommst nicht auf "die" Parametrisierung, sondern Du kommst auf irgendeine. (x,y)=(t,t) wäre auch eine. Oder (x,y)=(t^3, t^3). Du suchst halt eine möglichst einfache und nimmst die dann.
Und wie sind die Grenzen am Integral zu berechnen??? (hier von 0 zu 1)
Nennen wir mal deine Parametrierung w(t). Dann gilt w(0)=A und w(1)=B. Wenn ich w(t)=(t,t) genommen hätte, wären entsprechend 0 und 2 als di Grenzen rausgekommen.
Und leider ist mir auch die Integration nicht ganz klar...
I = ∫ 2 * (2t)^2 * 2 dt + (2t) * (2t) * 2 dt = ... wie komme ich auf 24 ∫ t^2 dt ?
Addition: 2*4*2t2+8t2=(16+8)t2=24t2
Oder meinst Du, wie man auf den ersten Term kommt?
- f(w(t))=P(w(t))+Q(w(t))=(2t)2+(2t)2 + (2t)*(2t)
- |w'(t)|=2
- Int f(w(t)) |w'(t)| dt
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du mußt eine Funktion g(t) finden mit: g(a) = Anfangspunkt des integrationswegs,
g(b) = Ende des Integrationsweges.Dann ist Kurvenintegral =
bei dir heißt das: g(t)=(2t,2t), a=0, b=1, und g'(t)=(2,2)
$\int\_0^1f(2t,2t)\cdot(2,2)=\int\_0^12(2t)^2\cdot2+(2t)^2\cdot2$\\ $=\int_0^18t^2\cdot2+4t^2\cdot2=$\\ $=24\int\_0^1t^2=24\frac{1}{3}t^3\big|\_0^1=8$der andere Integrationsweg geht genauso.
hoffe hab' mich nicht verrechnet, sonst: sorry - Wochenende
