Abbildungsmatrix gesucht



  • Hallo zusammen,

    eine lineare Abbildung bewirkt eine orthogonale Projektion auf die Ebene E: y - 2z = 0. Ich soll die Abbildungsmatrix herausfinden. Dazu weiß ich, dass die Spalten der Abbildungsmatrix die Bilder der Einheitsvektoren stehen. Aber wie kriege ich die Bilder der Einheitsvektoren raus?

    Vielen Dank
    lg, freakC++



  • Der Normalenvektor der Ebene wird auf den Nullvektor abgebildet. Alle Vektoren, die in der Ebene liegen, werden auf sich selbst abgebildet. Suche dir zwei linear unabhängige Vektoren in der Ebene auf, zusammen mit dem Normalenvektor hast du sogar drei linear unabhängige Vektoren, deren Bilder du kennst. Jetzt musst du nur noch ein bisschen Gleichungen lösen, um die Bilder der Einheitsvektoren herauszubekommen.



  • Noch eine Möglichkeit (du kannst ja beide probieren und schauen, ob das selbe rauskommt oder ob ich Mist erzähle): Sei x irgendein Vektor und y der Anteil von x, der in Richtung des Normalenvektors deiner Ebene zeigt. Das kann man irgendwie mit dem Skalarprodukt ausrechnen. Die Projektion von x auf deine Ebene ist dann einfach x-y. Und mit ein bisschen Vektorrechnung kannst du daraus deine Matrix basteln.



  • Hallo! Mir ist gestern auch noch ein Einfall gekommen. Ich habe eine Gerade gebildet, die die Einheitsvektoren als Stützvektor hat. Der Richungsvektor ist der Normalenvektor der Ebene. Nun habe ich einfach die Schnittpunkte der Gerade mit der Ebene berrechnet und hatte die Bilder der Einheitsvektoren. Meine Abbildungsmatrix sieht so aus:

    \begin{math}\begin{pmatrix} 1 &0 &0 \\ 0 & 0,8 & 0,4 \\ 0 & 0,4 & 0,2 \end{pmatrix} \end{math}

    Vielen Dank für deine Hilfe
    lg, freakC++


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