Die Eulersche Zahl
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Hey, habe eine Frage zur Eulerschen Zahl. afair wird sie definiert als die Basis einer Potenz, deren Anstieg am Punkt X=0 genau 45° beträgt. Da aber die Berechnung dieser Zahl nur über die Grenzwertbestimmung möglich ist, heißt das, dass man niemals einen Winkel von genau 45° haben wird, oder sehe ich das falsch?
Grüße,
Rewind.
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[Rewind] schrieb:
Hey, habe eine Frage zur Eulerschen Zahl. afair wird sie definiert als die Basis einer Potenz[funktion], deren Anstieg am Punkt X=0 genau 45° beträgt.
Es stimmt zwar, dass die e-Funktion bei 0 den Anstieg 1 hat, aber das ist nicht die Definition. Man kann eine Potenz mit allgemeinem reellen Exponenten nämlich nicht ohne Rückgriff auf die e-Funktion definieren, eine solche Definition wäre zirkulär.
Die übliche Definition für e ist $$\lim_{n\rightarrow\infty}\left ( 1 + \frac{1}{n} \right )^n$$ oder über die Exponentialfunktion $$e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$$, indem man für x 1 einsetzt.
Da aber die Berechnung dieser Zahl nur über die Grenzwertbestimmung möglich ist, heißt das, dass man niemals einen Winkel von genau 45° haben wird, oder sehe ich das falsch?
Es gibt hier mehrere Grenzwerte.
- Der Wert der e-Funktion selbst für einen Punkt ist schon ein Grenzwert
- Der Anstieg ist ein Differentialquotient, also auch ein Grenzwert
Aber man kann ja Grenzwerte ausrechnen, und der Anstieg ist halt 1. Das "niemals" hat hier eigentlich keinen Platz.
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dass man niemals einen Winkel von genau 45° haben wird, oder sehe ich das falsch?
Schon mal versucht, einen Winkel von 45 Grad nur mit Zirkel und Lineal zu konstruieren? Wenn nicht, bitte tue es jetzt!
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Ok, danke für die ausführliche Beschreibung. Jetzt habe ich's verstanden. Die Definition kenne ich, in meiner Frage habe ich allerdings mit dem Wort Definition diese Eigenschaft gemeint
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Bashar schrieb:
Es stimmt zwar, dass die e-Funktion bei 0 den Anstieg 1 hat, aber das ist nicht die Definition. Man kann eine Potenz mit allgemeinem reellen Exponenten nämlich nicht ohne Rückgriff auf die e-Funktion definieren, eine solche Definition wäre zirkulär.
Muß man das?
Ich definiere: Eine hübsche Funktion ist eine stetige reelle Funktion, die ein Vielfaches ihrer Ableitung ist.
Und die e-Funktion ist diejenige hübsche Funktion, die an der Stelle 0 die Steigung 1 hat.
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Das war im Zusammenhang anders gemeint. Der OP hat geschrieben, dass die e-Funktion über die Potenz definiert sei, wobei die Basis eine bestimmte Zahl ist. Aber die Potenz ist nunmal selbst über die e-Funktion definiert, also kann das nicht sein.
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volkard schrieb:
Ich definiere: Eine hübsche Funktion ist eine stetige reelle Funktion, die ein Vielfaches ihrer Ableitung ist.
Und die e-Funktion ist diejenige hübsche Funktion, die an der Stelle 0 die Steigung 1 hat.Dann gibt es aber ganz schön viele e-Funktionen. Das Ding, was normalerweise e-Funktion heisst, nenne ich mal exp(x). Dieses exp(x) erfüllt deine Definition. Aber y(x)=0.5*exp(2x) hat die Ableitung y'(x)=exp(2x) und ist deswegen auch hübsch, und y'(0)=exp(2*0)=1. Und jetzt weiß ich gar nicht mehr, was denn nun die richtige e-Funktion ist.
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Richtiger sollte man auch eine glatte Funktion f mit f' = f und f(0) = 1 suchen.
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Noch eine Alternative: Man kann die Potenzfunktion problemlos sukzesive für natürliche Zahlen, ganze Zahlen, rationale Zahlen definieren und dann einfach die stetige Fortsetzung nehmen.
Eine hab ich noch: Die Umkehrfunktion der Stammfunktion ln(x) von 1/x mit ln(1)=0.