Relationen
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Wenn man Kategorientheorie betreibt, betrachtet man gerne auch Klassen von Objekten, die zu groß sind, um Mengen zu sein. Nicht, dass man das nicht auch in einer Mengenlehre formalisieren könnte, aber der übliche Ansatz mit ZFC gibt das nicht her.
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Wenn es keine Mengen sind, sind es aber auch keine Relationen
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Och, man kann schon ein kartesisches Produkt von Klassen definieren (auch in ZFC) und dann von Relationen auf Klassen reden. Keine Ahnung, ob das sinnvolle Resultate liefert
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YASC schrieb:
Och, man kann schon ein kartesisches Produkt von Klassen definieren (auch in ZFC) und dann von Relationen auf Klassen reden.
Klassen in ZFC sind nichts anderes als Formeln mit einem Parameter. Eine Klasse A ist definiert durch eine Formel phi. Wenn man nun schreibt "x ∈ A", dann ist das eine Abkürzung für "phi(x)". In der Formel phi dürfen natürlich nur Mengen und das Symbol ∈ vorkommen, wie in allen ZFC-Formeln.
Wenn man zwei Klassen A, B hat, die durch Formeln phi, psi definiert sind, dann ist das kartesische Produkt A x B definiert durch die Formel:
chi(x) := \exists y. \exists z. x=(y,z) ∧ phi(y) ∧ psi(z)
wobei x=(y,z) eine Abkürzung ist für irgendeine Tupel-Kodierung.chi ist eine Formel mit einem Parameter, sie definiert also eine Klasse. Diese Klasse kann man als kartesisches Produkt der Klassen A und B ansehen, denn die von chi definierte Klasse enthält genau die Paare (x,y) für die x∈A und y∈B gilt.
Eine Relation wär dann eine Teilklasse dieses kartesischen Produkts. Wie jede Klasse wär auch das wieder eine Formel. Das ist auch durchaus sinnvoll, solche Relationen zu betrachten.
Interessant wird es zum Beispiel, wenn A eine Klasse ist und man eine Teilklasse S von A x A betrachtet, die eine Äquivalenzrelation ist. Dann kann man nämlich A faktorisieren nach S und bekommt "die Menge aller Äquivalenzklassen", nur dass die Äquivalenzklassen Klassen sind es daher sicher keine "Menge aller Äquivalenzklassen" geben wird. Es gibt aber nichtmal eine "Klasse aller Äquivalenzklassen", weil auch Klassen keine echten Klassen enthalten dürfen.
Man kann sich aber mit einem Trick herauswinden: In ZFC hat jede Menge eine eindeutige Nummer (Ordinalzahl), die in gewisser Weise die Komplexität dieser Menge beschreibt. Die leere Menge {} hat Nummer 0, die Menge {{}} hat Nummer 1. Die Menge der natürlichen Zahlen hat Nummer omega. Das entscheidende ist dann, dass "alle Mengen mit Nummer alpha" eine Menge und keine echte Klasse ist, egal wie groß alpha ist.
Dann kann man nämlich aus jeder Äquivalenzklasse die Mengen nehmen mit minimaler Nummer, die noch drin sind. Dann ist jede Äquivalenzklasse repräsentiert durch eine Menge, und man kann die "Klasse aller Repräsentanten aller Äquivalenzklassen" bilden. Es sieht aus wie ein Taschenspielertrick, aber solche Dinge nutzt man in ZFC.
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Hallo zusammen,
da bin ich wieder und habe noch immer ein paar Fragen:+
µ schrieb:
R = {(1,2)} ist eine Relation da es eine Teilmenge von G X G ist.
Diese Relation IST dein Operator. Diese Relation DEFINIERT deinen Operator.
In der Vorlesung meinte der Prof, dass wir zum Beispiel "<=" als R nehmen können. Das war für mich einleuchtend, denn nun konnte ich einfach prüfen ob z.B. 4 <= 5 gilt.
1.) Wenn "<=" R ist, dann muss es also Teilmenge eines Kartesischen Produkts sein. Wie kann das sein?
µ schrieb:
Es muss gelten "x op x". Gilt "1 op 1" ? Ist (1,1) element von R?
Warum? Dass "x op x" gelten muss, ist mir klar geworden. Warum ist die Aussage dann äquivalent zu "Ist (1,1) Element von R??
Danke euch
lg, freakC++
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Ich schaue mir geraed noch einmal die Vorlesung an. Die Worte des Profs:
"Ein bekanntes Beispiel ist die Kleiner-Gleich Relation. Also das Kleiner-Gleich zum Beispiel in N, den Natürlichen Zahlen"
Dann sagt er:
"Was ist dann die Relation? Was ist dann das R"
Moment, er meinte doch, dass die Relation der "Kleiner-Gleich-Operator" ist.
"Das R ist dem Fall die Menge aller Paare aus dem Katesischen Produkt von N mit sich selbst für die eben n <= m ist.
Lasst mich zusammenfassen, so wie ich es mir zusammenreime: Er definiert eine Regel. Diese Regel ist hier sehr matehmatisch, nämlich "<=".
Dann erstellt er das Kreuzprodukt der Grundmenge mit sich selbst und wendet nun diese Regel darauf an.
Was ist jetzt die Relation??? Das Kleiner-Gleich Zeichen oder eine Teilmenge von NxN..
ich bin verwirrt.....
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Die Menge ist die Relation, sie enthält alle Paare, für die die erste Zahl höchstens so groß ist wie die zweite. Das ist Super praktisch, wenn ich wissen will ob a kleiner oder gleich als b ist muss ich Ur schaun ob (a,b) in der Menge deine ist oder nicht. Weil (a,b) \in R_{<=} aber ein bisschen umständlich zu schreiben ist hat man ne Abkürzung erfunden und schreibt einfach a <= b.
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Die Relation ist die Menge {(0;0);(0;1);(1;1);(0;2);(1;2);(2;2);…}
//Die Menge aller paare, wo die erste Zahl kleiner oder gleich der zeiten Zahl ist. Ich hatte gerade
//keine Lust, alle Paare aufzuählen.Die Relation hat den Namen <=.
//Kein Witz. in der Mathematik müssen gültige Bezeichner nichtmal Buchstaben drin haben.Also
<= = {(0;0);(0;1);(1;1);(0;2);(1;2);(2;2);...}
//Das beschreibt man besser mit Worten, hihi.Und man vereinbart die akürzende Schreibweise
a<=b für (a,b)€<=
//Bzw allgemein aRb für (a,b)€RWas ist jetzt die Relation??? Das Kleiner-Gleich Zeichen oder eine Teilmenge von NxN..
Das Kleiner-Gleich-Zeichen ist nur der Name der Kleiner-Gleich-Relation. Die Kleiner-Gleich-Relation ist eine Teilmenge von NxN. Und daß man das Kleiner-Gleich-Zeichen auch als binären Operator benutzen darf, ist eine irrelevante Schreibabkürzung.
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Hallo!
Ahhh...das macht Sinn! Vielen, vielen Dank! Wir kommen der ganzen Problematik näher
Hihi.Bei der Aufgabe, die ich ganz am Anfang gepostet hatte, war aber kein Name für die Relation gegeben. Da hieß es einfach, dass die Grundmenge G = {1,2,3} und R = {(1,2)} ist.
Um jetzt zu schauen, ob die Relation R beispielsweise reflexiv ist, muss geprüft werden, ob xRy gilt, wobei x und y aus R sind. Hier habe ich aber keinen Namen und weiß gar nicht, welche Rechenvorschrift gilt.
Wenn ich der Relation den Namen "<=" gebe, dann ist ja alles klar, doch hier?
Deswegen finde ich µs Aussage interessant.
µ schrieb:
Es muss gelten "x op x". Gilt "1 op 1" ? Ist (1,1) element von R?
Warum? Weswegen ist die Aussage "1 op 1" äquivalent mit (1,1)?? "op" wäre ja eigentlich der Name der Relation, also z.B. "<=", der hier aber nicht gegeben ist....
Vielen Dank
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freakC++ schrieb:
Bei der Aufgabe, die ich ganz am Anfang gepostet hatte, war aber kein Name für die Relation gegeben. Da hieß es einfach, dass die Grundmenge G = {1,2,3} und R = {(1,2)} ist.
Doch, diese Relation heißt R.
freakC++ schrieb:
Um jetzt zu schauen, ob die Relation R beispielsweise reflexiv ist, muss geprüft werden, ob xRy gilt, wobei x und y aus R sind.
Genau. Nee, ob xRx, wobei x aus G ist.
freakC++ schrieb:
Hier habe ich aber keinen Namen und weiß gar nicht, welche Rechenvorschrift gilt.
Doch!!!
Du hast doch die Relation vorliegen.
Testen wir doch mal.
1R1?
2R2?
3R3?
Antwort:
1R1? Nö.
2R2? Nö.
3R3? No.
Denn ich habe (1,1) und (2,2) und (3,3) echt nicht in R gefunden. Eine sehr kleine Relation.
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volkard schrieb:
freakC++ schrieb:
Bei der Aufgabe, die ich ganz am Anfang gepostet hatte, war aber kein Name für die Relation gegeben. Da hieß es einfach, dass die Grundmenge G = {1,2,3} und R = {(1,2)} ist.
Doch, diese Relation heißt R.
Ok...:D..haha..einverstanden!
volkard schrieb:
Testen wir doch mal.
1R1?
2R2?
3R3?
Antwort:
1R1? Nö.
2R2? Nö.
3R3? No.
Denn ich habe (1,1) und (2,2) und (3,3) echt nicht in R gefunden. Eine sehr kleine Relation.Aber warum heißt bitte 1R1, dass das Tupel (1,1) existieren muss? Das verstehe ich nicht. R ist mein Name. Stünde da "<=" oder "=" fiele mir das leichter, aber warum heißt R, dass (1,1) existieren muss?
Danke dir
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freakC++ schrieb:
Aber warum heißt bitte 1R1, dass das Tupel (1,1) existieren muss?
Weil das in der Standardlib so steht.
#define a R b := (a,b)€Raber warum heißt R, dass (1,1) existieren muss?
Heißt es doch gar nicht.
Aber wir wollten doch schauen, ob R reflexiv ist.
Wäre R reflexiv, müßte 1R1 gelten. Also (1,1)€R sein.
Und dann hab ich nachgeschaut in R, also in {(1,2)}...
...nö, (1,1) ist nicht in R. Also gilt 1R1 nicht.Also ist R nicht reflexiv.
Zum Beispiel die Relation S={(1,1),(2,2),(1,3),(3,3),(3,1)} wäre reflexiv.
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ahhhh...danke volkard! Du kriegstn Eis von mir! Das habe ich verstanden.
Ok!! Wunderbar. Ich schreite nun bei meinen Aufzeichnen weiter fort und melde mich dann bestimmt gleich wieder
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Die "<=" Relation ist also reflexiv, nicht symmetrisch, antisymmetrisch und transitiv, wenn ich das richtig verstanden habe?
Begründung zur Antisymmetrie: Wenn (xRy UND yRx) gilt, dann gilt auch x = y. Die Bedingung kann bei "<=" ja nur erfüllt sein, wenn x und y gleich sind.
Die Relation "<" wäre zum Beispiel sowohl nicht symmmetrisch als auch nicht antisymmetrisch.
Liege ich da richtig?
lg, freakC++
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freakC++ schrieb:
Antisymmetrie: Wenn (xRy UND yRx) gilt, dann gilt auch x = y.
freakC++ schrieb:
Die Relation "<" wäre zum Beispiel sowohl nicht symmmetrisch als auch nicht antisymmetrisch.
Also wenn ich da mal zurückdenke an vor 9 Tagen, wo Du ex falso quod libet verstanden hast, wachsen mir Zweifel. Obwohl, 9 Tage. Das sind für ein Kind des Privatfernsehens wie mich Ewigkeiten.
x<y UND y<x kann ja nie wahr werden. Aber dann ist die Implikation doch deswegen immer wahr.
Und die Relation < ist bestimmt auch ein bißchen transitiv.
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Jup...daran hatte ich nicht mehr gedacht. Neuer Versuch:
Die Relation "<" ist nicht reflexiv, nicht symmetrisch, aber antisymmetrisch und transitiv.
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freakC++ schrieb:
Die Relation "<" ist nicht reflexiv, nicht symmetrisch, aber antisymmetrisch und transitiv.
Ja, sehe ich auch so.
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Ich las soeben folgenden Satz:
Sei M eine Menge. Dann ist "ElementAus" eine Ordnungsrelation auf die Potenzmenge.
Das wollte ich gerne zeigen. Als Beispiel habe ich mir M = {1,2} herausgesucht.
P(M) = {{},{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}
Die Relation R wird also auch "ElementAus" genannt.
Muss ich jetzt das Kreuzprodukt von der Menge M oder von der Potenzmenge mit sich selbst erstellen?
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Du siehst doch, was vor dem Element-Zeichen stehen darf und was danach. Dadurch hast du deine Mengen gegeben.
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Michael E. schrieb:
Du siehst doch, was vor dem Element-Zeichen stehen darf und was danach. Dadurch hast du deine Mengen gegeben.
Ich sehe es nicht. Für mich ist die Aufgabe Quatsch.
Wäre es die Teilmengenbeziehung, ja dann wäre alles klae. Aber zu "ElementAus" finde ich nichts.