n-te Ableitung bestimmen

[freakC++]

Hallo zusammen,

ich versuche eine Regelmäßigkeit in den Ableitungen der Funktion $f(x) = \frac{1}{1-x^2}$ zu finden. Leider macht mir der Zähler alles kaputt. Seht ihr da irgendwie eine Regel?

$f'(x) = \frac{2x}{(1-x^2)^2}$

$f''(x) = \frac{6x^2+2}{(1-x^2)^3}$

$f'''(x) = \frac{24x^3+24}{(1-x^2)^4}$

Mit wolframalpha habe ich mir auch die vierte Ableitung errechnen lassen und musste feststellen, dass der Zähler noch hässlicher wird.

Habt ihr eine Idee?

Vielen Dank!
LG, freakC++

[Helferindernot]

Entwickle mal die Funktion in eine Potenzreihe und leite diese ab.

[Helferindernot]

oder noch besser: Partialbruchzerlegung

[wxSkip]

http://www.wolframalpha.com/input/?i=D[1+%2F+(1+-+x²)%2C+{x%2C+n}]

[nunja]

wxSkip schrieb:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=D[1+%2F+(1+-+x²)%2C+{x%2C+n}]

das hilft nicht wirklich weiter.

[wxSkip]

nunja schrieb:

wxSkip schrieb:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=D[1+%2F+(1+-+x²)%2C+{x%2C+n}]

das hilft nicht wirklich weiter.

Und wieso hilft eine Lösung nicht weiter? Oder was ist daran nicht die Lösung?

[SG1]

Da steht soviel wie "die n-te Ableitung ist die n-te Ableitung". Sehr hilfreich.

[wxSkip]

SG1 schrieb:

Da steht soviel wie "die n-te Ableitung ist die n-te Ableitung". Sehr hilfreich.

Bei mir kommt darunter noch ein Abschnitt "Symbolic integer derivatives", worunter mehrere (komplizierte) nach Lösungen aussehende Formeln stehen.

[TGGC]

Schonmal von Fakultaet gehoert?

[freakC++]

Helferindernot schrieb:

Entwickle mal die Funktion in eine Potenzreihe und leite diese ab.

Mmh..ich möchte aber die Taylorreihe aufstellen. Hilft mir dabei die Potenzreihe weiter?

TGGC schrieb:

Schonmal von Fakultaet gehoert?

ja :D. Die hilft mir hier wie weiter?

Vielen Dank
LG, freakC++

[freakC++]

Der erste Summand im Zähler ist tatsächlich die Fakulät von n, aber das bringt mich nicht weiter, weil ich nicht auf die weiteren Summanden schließen kann....

[Bashar]

Guck nochmal bei Wolfram alpha, aber bilde nicht die n-te, sondern ein paar konkrete Ableitungen, und schau dann nach unten bei "Alternate forms".

[freakC++]

Ich habe die wohl schönste Lösung gefunden. Es gilt nämlich $f(x) = \frac{1}{1-x^2} = \frac{1}{2}(\frac{1}{1+x} + \frac{1}{1-x})$

Von der ganz rechten Seite kann sehr leicht die n-te Ableitung bestimmt werden

Danke euch und LG
freakC++

[otze]

freakC++ schrieb:

Mmh..ich möchte aber die Taylorreihe aufstellen. Hilft mir dabei die Potenzreihe weiter?

Taylorreihen sind ein Spezialfall der Potenzreihe. Wenn eine Potenzreihe gleichmäßig gegen die Zielfunktion konvergiert, dann ist die Reihendarstellung eindeutig.

Was dir HelferinderNot gesagt hat war also nicht mehr als: berechne die Taylorreihe

[freakC++]

Ok! Vielen Dank

[eyeambaka]

Falls es noch interessiert:
Am einfachsten ist es wohl die funktion direkt auf 1/2(ln(1+x)-ln(1-x)) umzustellen, ln(1+x) haben wir als Beispiel im Skript und ln(1-x) ist analog dazu schnell gefunden.

[otze]

Wenn ihr Integrale schon benutzen dürft...