4. Stetigkeit zeigen

Stetigkeit zeigen

  • F

    Hallo zusammen,

    ich habe die folgende Funktion f(x,y):=x3−y3x2+y2,falls(x,y)≠(0,0);0,falls(x,y)=(0,0)f(x,y) := \frac{x^3-y^3}{x^2+y^2}, falls(x,y) \neq (0,0); 0, falls (x,y) = (0,0)

    Diese möchte ich nun auf Stetigkeit überprüfen. Für alle (x,y) != (0,0) gilt, dass die Funktion stetig ist, weil sie aus einer Verkettung von stetigen Funktionen aufgebaut ist. Nun muss ich aber noch die Stetigkeit im Punkt (0,0) prüfen. Da bin ich mir nciht sicher und brauche eure Hilfe.

    Sei ana_{n} eine Folge mit limn→∞an=(0,0)\lim_{n \to \infty} a_{n} = (0,0). Dann gilt:

    ∣f(an)∣=∣xn3−yn3xn2+yn2∣=∣xn3−yn3∣xn2+yn2≤∣xn3−yn3∣xn2≤∣xn3∣+∣yn3∣xn2=∣xn∣+∣yn3∣xn2≤∣xn∣|f(a_{n})| = \left| \frac{x_{n}^3 - y_{n}^3}{x_{n}^2 + y_{n}^2} \right| = \frac{|x_{n}^3 - y_{n}^3|}{x_{n}^2 + y_{n}^2} \leq \frac{|x_{n}^3 - y_{n}^3|}{x_{n}^2} \leq \frac{|x_{n}^3| + |y_{n}^3|}{x_{n}^2} = |x_{n}| + \frac{|y_{n}^3|}{x_{n}^2} \leq |x_{n}|

    Da xnx_{n} und damit auch ∣xn∣|x_{n}| auch eine Nullfolge ist, gilt nach dem Sandwich-Theorem limn→∞f(an)=0=f(limn→∞an)\lim_{n \to \infty} f(a_{n}) = 0 = f(\lim_{n \to \infty} a_{n}), was gerade bedeutet, dass f in (0,0) stetig ist.

    Ist meine Idee und vor allem der Rechenweg richtig, oder nicht?

    Vielen Dank

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  • ?

    freakC++ schrieb:

    ∣xn∣+∣yn3∣xn2≤∣xn∣|x_{n}| + \frac{|y_{n}^3|}{x_{n}^2} \leq |x_{n}|

    Das ist doch falsch, oder? Sandwich würde sinnvoll anwendbar sein, wenn der zweite Summand auch eine Nullfolge wäre, aber das ist er nicht notwendigerweise, glaube ich. 😕

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  • F

    öhmm schrieb:

    freakC++ schrieb:

    ∣xn∣+∣yn3∣xn2≤∣xn∣|x_{n}| + \frac{|y_{n}^3|}{x_{n}^2} \leq |x_{n}|

    Das ist doch falsch, oder? Sandwich würde sinnvoll anwendbar sein, wenn der zweite Summand auch eine Nullfolge wäre, aber das ist er nicht notwendigerweise, glaube ich. 😕

    Warum? Wenn ich etwas immer positives weglasse, dann ist die linke Seite definitiv kleiner. Außerdem ist das doch auch eine Nullfolge.

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  • ?

    Du lässt aber auf der rechten Seite was positives weg.

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  • ?

    jokester_ schrieb:

    Du lässt aber auf der rechten Seite was positives weg.

    Einmal das, und außerdem betrachte mal

    a_{n} = (x_{n}, y_{n}) = (\frac{1}{\sqrt{n}}, \frac{1}{\sqrt[3]{n}})
    Dann gilt zwar limn→∞an=0\lim_{n \to \infty} a_{n} = 0, aber ∣yn3∣xn2=1\frac{|y_{n}^3|}{x_{n}^2} = 1 und damit keine Nullfolge.

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  • F

    Mmh..,ja ihr habt Recht. Ich habe noch ein bisschen nachgedacht und bin auf einen anderen Lösungsansatz gekommen. Ist dieser richtig?

    ∣f(an)∣=∣xn3−yn3xn2+yn2∣=∣xn3−yn3∣xn2+yn2≤∣xn3−yn3∣≤∣xn3∣+∣yn3∣|f(a_{n})| = \left| \frac{x_{n}^3 - y_{n}^3}{x_{n}^2 + y_{n}^2} \right| = \frac{|x_{n}^3 - y_{n}^3|}{x_{n}^2 + y_{n}^2} \leq |x_{n}^3 - y_{n}^3| \leq |x_{n}^3| + |y_{n}^3|

    Nun folgt die gleiche Argumentation mit dem Sandwich-Theorem. Ich bin mir aber ebenso wenig sicher. Falls es immer noch falsch ist, würde ich mich über einen Verbesserungsvorschlag sehr freuen 🙂 🙂

    Danke euch!
    LG, freakC++

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  • V

    Verstehe nicht, wie Du den Nenner weggemacht hast.

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  • F

    durch Abschätzung?! Daher kommt ja auch das Kleiner/Gleich - Zeichen.

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  • V

    freakC++ schrieb:

    durch Abschätzung?! Daher kommt ja auch das Kleiner/Gleich - Zeichen.

    Also hast Du geschätzt, daß ein Bruch mit positivem Zähler und Nenner immer kleiner als der Zähler ist?
    Aber 20 / 0.001 = 20000. Das verwirrt mich ein wenig.

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  • F

    auch wieder war...

    Habt ihr denn eine Idee, wie ich die Stetigkeit zeigen kann? Welche Umformung muss ich oben ausführen, damit rechts einfach nur noch eine Nullfolge steht?

    Vielen Dank

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    freakC++ schrieb:

    Mmh..,ja ihr habt Recht. Ich habe noch ein bisschen nachgedacht und bin auf einen anderen Lösungsansatz gekommen. Ist dieser richtig?

    ∣f(an)∣=∣xn3−yn3xn2+yn2∣=∣xn3−yn3∣xn2+yn2≤∣xn3−yn3∣≤∣xn3∣+∣yn3∣|f(a_{n})| = \left| \frac{x_{n}^3 - y_{n}^3}{x_{n}^2 + y_{n}^2} \right| = \frac{|x_{n}^3 - y_{n}^3|}{x_{n}^2 + y_{n}^2} \leq |x_{n}^3 - y_{n}^3| \leq |x_{n}^3| + |y_{n}^3|

    Nun folgt die gleiche Argumentation mit dem Sandwich-Theorem. Ich bin mir aber ebenso wenig sicher. Falls es immer noch falsch ist, würde ich mich über einen Verbesserungsvorschlag sehr freuen 🙂 🙂

    Danke euch!
    LG, freakC++

    |x3-y3|/|x²+y²| <= (|x3|+|y3|)/(x²+y²), vielleicht bringt das was, muss jetzt leider weg

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  • ?

    Ja, das bringt was:

    Daraus folgt:
    (|x|*x²+|y|*y²)/(x²+y²) = |x|*(x²/(x²+y²)) +...
    <= |x|+|y|, da x²/(x²+y²) <= 1 ist(entsprechend mit y).

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  • F

    Ohh super :). Danke! Du hast mir sehr weitergeholfen 🙂

    Liebe Grüße
    freakC++

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  • ?

    Wie genau benutzt du hier das Sandwich-Theorem? Eine obere Grenze sehe ich,aber was begrenzt es nach unten hin?

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  • J

    Na die 0, ist ja ein Betrag.

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