Überführung eines Ausdrucks in eine Summe

Hallo:
$(x_{1} + ... + x_{n}) = \sum _{i_{1}=1}^n x_{i_{1}}$
$(x_{1} + ... + x_{n})^2 = \sum _{i_{1}=1}^n\sum _{i_{2}=1}^n x_{i_{1}}x_{i_{2}}$
$...$
ich versuche nun diesen Ausdruck in eine Summe zu überführen:
$(x_{1} + ... + x_{n})^\gamma = \sum _{i_{1}=1}^n ...\sum _{i_{n}=1}^n x_{i_{1}}...x_{i_{\gamma}}$ also $\gamma$ Summen und $\prod _{j=1}^\gamma x_{i_{j}}$ Faktoren (Argument der innersten Summe).

Es müsste soweit alles passen, mehrfach nachgerechnet etc und auch von der Logik her müsste es hinhauen (ein Rechenfehler könnte natürlich drins ein, immerhin macht auch gleich der Bäcker wieder auf ).
Meine Frage nun an alle Studierten&Mathefreaks: Gibt es eine allgemeine Notation/Regelung/... um diesen Ausdruck: $\sum _{i_{1}=1}^n ...\sum _{i_{n}=1}^n$ zu verallgemeinern, sodass die Punkte verschwinden und nach möglichkeit nur noch ein Summezeichen da ist, das dann eben die $\gamma$ Summenzeichen erzeugt ?

Zack und schon den angesprochenen Rechenfehler bzw Tippfehler entdeckt:
Im Index des Laufindex der Summe(n) steht natürlich ein $\gamma$ , kein $n$ ...

Suchst du vielleicht http://de.wikipedia.org/wiki/Multinomialtheorem ?

Bashar

Bongobong schrieb:

Meine Frage nun an alle Studierten&Mathefreaks: Gibt es eine allgemeine Notation/Regelung/... um diesen Ausdruck: $\sum _{i_{1}=1}^n ...\sum _{i_{n}=1}^n$ zu verallgemeinern, sodass die Punkte verschwinden und nach möglichkeit nur noch ein Summezeichen da ist, das dann eben die $\gamma$ Summenzeichen erzeugt ?

$\sum_{(i\_1, \ldots, i\_n)\in\{1,\ldots,n\}^n}$
bzw. $\sum_{(i\_1, \ldots, i\_\gamma)\in\{1,\ldots,n\}^\gamma}$

Danke für die Antworten.

Das Multinominaltheore hilft mir leider nicht weiter, ich habe die multinominalen Formeln nur als Beispiel verwendet.

Was sagt diese Notation:

Bashar schrieb:

$\sum_{(i\_1, \ldots, i\_\gamma)\in\{1,\ldots,n\}^\gamma}$

aus?
Bzw, wie würde man das sprachlich erklären? Jedes $i_{index}$ läuft durch die Menge $\{1,...,n\}$ und nimmt jeden Wert $\gamma$ -mal an und führt dabei die Funktion (also das innerhalb der Klammer) aus. ?

Die Notation würde also nun folgendermaßen aussehen:
(x\_1 + x\_2 + \ldots + x\_n)^\gamma = \sum \limits\_{(i\_1, \ldots, i\_\gamma)\in\{1,2,\ldots,n\}^\gamma} (\prod\limits_{j=1}^\gamma x_{i\_j}) = (x\_{1\_1}\*x\_{1\_2}\*\ldots\*x\_{1_\gamma}) + (x_{2\_1}\*x\_{2\_2}*\ldots\*x\_{2_\gamma}) + \ldots + (x_{\gamma\_1}\*x\_{\gamma\_2}*\ldots*x\_{\gamma_\gamma})
Ich werde das noch auf fehler überprüfen, mir geht es vorerst nur um die Notation mit der Summe

Bashar

Bongobong schrieb:

Was sagt diese Notation:

Bashar schrieb:

$\sum_{(i\_1, \ldots, i\_\gamma)\in\{1,\ldots,n\}^\gamma}$

aus?
Bzw, wie würde man das sprachlich erklären? Jedes $i_{index}$ läuft durch die Menge $\{1,...,n\}$ und nimmt jeden Wert $\gamma$ -mal an und führt dabei die Funktion (also das innerhalb der Klammer) aus. ?

$\{1,\ldots,n\}^\gamma$ ist ein kartesisches Produkt. Falls $A$ und $B$ Mengen sind, dann ist bekanntlich $A\times B = \{(a,b)\mid a\in A, b\in B\}$ .
Die Potenzschreibweise ist das mehrfache kartesische Produkt einer Menge mit sich selbst:
$A^0 = \{ () \}$
$A^{n+1} = A\times A^n\quad, n\geq 0$

Also einfach $A^n = \{ (a\_1, \ldots, a\_n) \mid a_i \in A, i = 1, \ldots, n\}$ .

Die Summe läuft also über alle möglichen $\gamma$ -Tupel $(i\_1, \ldots, i\_\gamma)$ , die mit $i_j\in \{1, \ldots, n\}$ bildbar sind.

top. danke für die Erklärung