Wasserstoffatom feldfrei?

[Bohr]

C14 schrieb:

@Gregor:
Ok.
Die Frage zielte eher darauf, dass der TE in seiner Rechnung wenn er von "repulsivem Coulomb-Potential" spricht vermutlich einen Fehler hat,
weil sich imho bei dieser Näherung die Atome zunächst anziehen sollten.
Du hast natürlich Recht, die Näherung wird allgemein nicht viel taugen und man muss es wohl quantenmechanisch durchrechnen.

Das ist schon quantenmechanisch gerechnet (wenn auch nicht quantenfeldtheoretisch, das kann ich (noch) nicht). Ich kann die Rechnung gerne in Latex begründen, wenn du willst. Wieso sollten die Atome sich anziehen?

C14 schrieb:

Die Frage ob wir ohne Pauli Prinzip durch den Boden fallen würden (vorausgesetzt wir und die Welt wären aus Wasserstoff )ist jetzt aber noch nicht klar beantwortet.

Meine Antwort auf die Frage: ja, aber die direkte Ursache ist nach wie vor elektrostatische Abstoßung.[/quote]

[Gregor]

Bohr schrieb:

Das Atom hat wegen Gesamtladung 0 kein Monopolmoment, wohl aber höhere Multipolmomente und auch ein äußeres elektrisches Feld.

Die Formel, die Du im ersten Posting gebracht hast, bietet keine Freiheitsgrade fuer ein Moment hoeherer Ordnung, da sie nur vom Betrag des Radius, nicht aber von der Richtung abhaengt.

Wenn momente hoeherer Ordnung relevant sind, dann muss ich die Aussage tatsaechlich zuruecknehmen. Ich sehe das hier jenseits von VdW-Wechselwirkungen aber nicht.

[Bohr]

Okay, hier man eine Begründung, woher das Potential (in klassischer Feldtheorie) kommt:

Angenommen, das mittlere Potential des Elektrons im 1s-Zustand sei
$\phi(\vec r) = \dfrac{e}{4\pi\epsilon\_0|\vec r|}\mathbb{e}^{-\dfrac{2|\vec r|}{a\_0}}\left(1+\dfrac{|\vec r|}{a_0}\right)$

Wir kennen die Poisson-Gleichung:
$\Delta \phi(\vec r) = -\dfrac{\rho(\vec r)}{\epsilon_0}$

Radialsymmetrisches Problem, da nur abhängig vom Betrag des Vektors, also Laplace-Operator in Kugelkoordinaten (mit $\alpha = \frac{2}{a_0}$):
$\Delta \phi(\vec r) = \Delta \phi(r) = \dfrac{1}{r}\dfrac{\partial^2}{\partial r^2}(r\phi(r)) = \dfrac{e}{4\pi\epsilon\_0r}\dfrac{\partial^2}{\partial r^2}(\mathbb{e}^{-\alpha r}(1+\dfrac{\alpha r}{2})) = \dfrac{e}{4\pi\epsilon\_0r}\mathbb{e}^{-\alpha r}(\alpha^2 - \dfrac{\alpha^2}{2} + \alpha^3 \dfrac{r}{2} - \dfrac{\alpha^2}{2}) = \dfrac{e}{4\pi\epsilon\_0}\dfrac{\alpha^3}{2}\mathbb{e}^{-\alpha r} = \dfrac{e}{4\pi\epsilon\_0}\dfrac{8}{2a\_0^3}\mathbb{e}^{-\alpha r} = \dfrac{e}{\pi\epsilon\_0 a_0^3}\mathbb{e}^{-\alpha r}$

Also folgt aus der Poisson-Gleichung:
$\rho(\vec r) = - \dfrac{e}{\pi a\_0^3}\mathbb{e}^{-\alpha r} = - \dfrac{e}{\pi a\_0^3}\mathbb{e}^{-\dfrac{2r}{a_0}}$

Wellenfunktion des Elektrons im 1s-Zustand:
$\langle \psi \mid x \rangle = \sqrt{\dfrac{1}{a\_0^3\pi}}\mathbb{e}^{-\dfrac{r}{a\_0}}$
Mittlere Ladungsdichte ist dann:
$-e|\langle \psi \mid x \rangle|^2 = - \dfrac{e}{\pi a\_0^3}\mathbb{e}^{-\dfrac{2r}{a\_0}}$
Übereinstimmung der Ladungsverteilungen. Das Potential ist also richtig.

[knivil]

Die Welt besteht doch nicht nur aus Edelgaskonfigurationen?

Ich sehe nicht, warum zwei Stueck kalter Plastik auf meinem Tisch nach aussen ungepaarte Elektronen haben sollte.

Warum stoßen sich dann zwei Wasserstoff-Moleküle ab?

Bei welcher Entfernung? Sind sie 2 Meter voneinander entfernt? Noch nie gesehen.

Ich sehe schon, wir reden aneinander vorbei. Wahrscheinlich, weil du wahllos zwischen Molekuelen und Atomen hin- und herspringst, mal das H-Atom, dann Molekuele, dann He, dann ... . Am besten du beschreibst eine konkrete Ausganssituation und beschraenkst dich auf diese. Ansonsten wuerde ich http://en.wikipedia.org/wiki/Pauli_exclusion_principle#Stability_of_matter als ersten Anlaufpunkt waehlen und die Papers bearbeiten. Es wird auf http://en.wikipedia.org/wiki/Exchange_interaction

The consequence of the Pauli principle here is that electrons of the same spin are kept apart by a repulsive exchange interaction, which is a short-range effect, acting simultaneously with the long-range electrostatic or coulombic force.

Abstoßung wird auch elektrostatisch sein

Das bestreitet wohl niemand, ist aber nicht ausreichend. Aus den Abstrakts zu einem der Papers ist zu entnehmen, dass das Pauliprinzip hinreichend ist, also Elektrostatik nicht zwingend erforderlich ist, damit wir nicht zum Erdmittelpunkt sinken (meine Interpretation des Abstrakts). Weiter heisst es bei Wikipedia:

A more rigorous proof was provided in 1967 by Freeman Dyson and Andrew Lenard, who considered the balance of attractive (electron–nuclear) and repulsive (electron–electron and nuclear–nuclear) forces and showed that ordinary matter would collapse and occupy a much smaller volume without the Pauli principle

[C14]

Bohr schrieb:

Das ist schon quantenmechanisch gerechnet (wenn auch nicht quantenfeldtheoretisch, das kann ich (noch) nicht). Ich kann die Rechnung gerne in Latex begründen, wenn du willst. Wieso sollten die Atome sich anziehen?

Ich meinte nicht die Herleitung des Potentials sondern die daraus gefolgerte Abstoßung der H-Atome. Ich sehe an dem Potential nichts repulsives.
(Eingabe bei wolfram alpha: "1/x*(e^(-2*x)*(1+x) - 1) from 0 to 10")
Im Gegenteil, für Elektronen ist es attraktiv.

Die Atome ziehen sich deshalb zunächst an, weil die Elektronenladungsverteilung des zweiten Atoms in den Bereich niedrigeren Potentials reinreicht, während der Kern des zweiten Atoms noch weiter entfernt ist.

Genauer müsstest du eben die Ladungsverteilung des zweiten Atoms mal Potential integrieren und nach dem Abstand ableiten um die Kraft zu bekommen.

Aber da diese Näherung vermutlich eh nichts mehr taugt wenn sich die Orbitale stärker überlappen lohnt der Aufwand wahrscheinlich nicht.
Mit nicht quantenmechanisch meinte ich, dass du die eigentliche QM Wechselwirkung (gemeinsamer Hamiltonian...) vernachlässigst und nur mit den statischen Potentialen argumentierst.

[Bohr]

C14 schrieb:

Ich meinte nicht die Herleitung des Potentials sondern die daraus gefolgerte Abstoßung der H-Atome. Ich sehe an dem Potential nichts repulsives.

Das Potential ist nicht richtig, aber aufgefallen ist es wohl auch niemandem. Die Vorzeichen sind genau falsch herum. Wenn man positivem Kernpotential sein + und negativer Hülle sein - gibt, dann schaut's so aus:

WA: 1/x - (e^(-x)*(1+x))/x from 0 to 10

Das ist durchaus repulsiv (mit einer beschränkten Coulomb-Barriere).

C14 schrieb:

Die Atome ziehen sich deshalb zunächst an, weil die Elektronenladungsverteilung des zweiten Atoms in den Bereich niedrigeren Potentials reinreicht, während der Kern des zweiten Atoms noch weiter entfernt ist.

Ich verstehe nicht genau, was du damit meinst.

C14 schrieb:

Aber da diese Näherung vermutlich eh nichts mehr taugt wenn sich die Orbitale stärker überlappen lohnt der Aufwand wahrscheinlich nicht.

Mit Sicherheit nicht, dass man dann zu einem anderen Hamilton-Operator greifen muss, war ja schon klar. Ich wundere mich eben nur, dass es da ein elektrisches Potential gibt, das nachweislich kein Monopolmoment oder höhere Multipolmomente, aber trotzdem ein nach außen nicht verschwindendes E-Feld hat.

knivil schrieb:

Bei welcher Entfernung?

Natürlich wenn sie sich ganz nahe sind.

knivil schrieb:

Wahrscheinlich, weil du wahllos zwischen Molekuelen und Atomen hin- und herspringst, mal das H-Atom, dann Molekuele, dann He, dann ... .

Naja nicht wirklich wahllos, aber scheinbar nicht für jeden nachvollziehbar, daher etwas ausführlicher meinen bisherigen Gedankengang:

Ich will prinzipiell diese atomare Abstoßung begreifen, da dachte ich erst einmal, Wasserstoff ist am einfachsten (da mir das Pauli-Prinzip als Holzhammer-Begründung nicht reicht bzw. mir der tiefere Sinn entgangen ist). Da kommt dann dieses Potential, aus dem ich immernoch nicht wirklich schlau werde. (Ein Potential ohne irgendein Multipolmoment?) Wasserstoff ist aber auch nicht wirklich geeignet, denn das hybridisiert ja, wenn zwei Atome sich zu überlappen beginnen. Deshalb Helium, wo das sicher nicht passiert. Oder zwei Wasserstoff-Moleküle.

knivil schrieb:

Ansonsten wuerde ich ... als ersten Anlaufpunkt waehlen und die Papers bearbeiten. Es wird auf http://en.wikipedia.org/wiki/Exchange_interaction [...]

Austauschwechselwirkung, die ist mir bisher völlig entgangen! Und das wird wohl auch die ausführliche Ursache für mein Problem "Wieso falle ich nicht durch den Fußboden" beinhalten (und sogar noch viele andere wie Spin-WW im Ising-Modell, die ich mir bisher nicht erklären konnte). Danke für den Tipp, den hat mir bisher noch niemand gegeben.

Der für mein Problem interessanteste Teil war ja:

The consequence of the Pauli principle here is that electrons of the same spin are kept apart by a repulsive exchange interaction, which is a short-range effect, acting simultaneously with the long-range electrostatic or coulombic force. This effect is partly responsible for the everyday observation in the macroscopic world that two solid objects cannot be in the same place at the same time.

Nachtrag: die Lösung meines Potential-Dilemmas liegt vermutlich ganz einfach in der Tatsache, dass die Ladungsverteilung der Elektronenhülle nicht abgeschlossen ist. Völlig egal, welche Gauß-Kugel man um den Kern legt, sie schließt nicht die Gesamtladung ein, da die 1s-Ladungsverteilung, sprich die Atomhülle den ganzen Raum ausfüllt. Also hat dieses Potential folgerichtig für jedes Volumen ein nicht verschwindenes Monopolmoment, was je nach Gauß-Volumen immer kleiner wird.

[C14]

Bohr schrieb:

C14 schrieb:

Ich meinte nicht die Herleitung des Potentials sondern die daraus gefolgerte Abstoßung der H-Atome. Ich sehe an dem Potential nichts repulsives.

Das Potential ist nicht richtig, aber aufgefallen ist es wohl auch niemandem. Die Vorzeichen sind genau falsch herum. Wenn man positivem Kernpotential sein + und negativer Hülle sein - gibt, dann schaut's so aus:

WA: 1/x - (e^(-x)*(1+x))/x from 0 to 10

Das ist durchaus repulsiv (mit einer beschränkten Coulomb-Barriere).

Ja, ich habe das schon mit dem richtigen Vorzeichen betrachtet.
Beachte dass negativ geladene Teilchen das Potential hinauf statt herab laufen -> Anziehung für Elektronen

(ausserdem hast du bei deiner WA-Formel die 2 im Exponenten vergessen -> das richtige Potential hat das Maximum bei 0)

[Bohr]

C14 schrieb:

(ausserdem hast du bei deiner WA-Formel die 2 im Exponenten vergessen -> das richtige Potential hat das Maximum bei 0)

Das ist doch völlig egal wo das Maximum liegt, im Nahfeld greift dieses genäherte Näherung sowieso nicht mehr. Für große x ist ein Faktor 2 irrelevant.

C14 schrieb:

Beachte dass negativ geladene Teilchen das Potential hinauf statt herab laufen -> Anziehung für Elektronen

Was für negative Teilchen? Beim Wasserstoff ging es darum, dass zwei Wasserstoff-Atome wechselwirken und nicht ein Wasserstoffatom und ein Elektron. Das Potential ist positiv; wenn du einen zweiten Körper mit genau dem gleichen Potential hinsetzt, werden die sich abstoßen, die effektive Ladung beider Wasserstoffatome ist im zeitlichen Mittel positiv, ein Monopolmoment größer 0. Das Potential taugt aber nun mal nichts, irgendwie die Realität zu beschreiben. Wenn es ein leeres Universum nur gefüllt mit wenigen Wasserstoffatomen gäbe, dann würde eine elektrostatische Abstoßung zwischen ihnen im Fernfeld existieren, solange sie sich nicht zu nahe kommen und sofort hybridisieren. Realitätsbezug fehlt an der Stelle. Ich fand es einfach nur verblüffend, dass ein pures Wasserstoffatom im Fernfeld wie eine positive (aber sehr sehr kleine) Monopol-Ladung wirkt, was ja irgendwie konträr zur Aussage stand, ein Wasserstoffatom sei neutral. Das ist es auch, aber im zeitlichen Mittel nur über das ganze Universum integriert.

[Gregor]

Bohr schrieb:

Das Potential ist nicht richtig, aber aufgefallen ist es wohl auch niemandem. Die Vorzeichen sind genau falsch herum. Wenn man positivem Kernpotential sein + und negativer Hülle sein - gibt, dann schaut's so aus:

WA: 1/x - (e^(-x)*(1+x))/x from 0 to 10

Ich habe das Potential zu keinem Zeitpunkt nachgerechnet, aber irgendwie gefaellt es mir nicht. Bist Du Dir sicher, dass das so stimmt? Ich waere eigentlich davon ausgegangen, dass sich das Potential mit groesser werdendem x wesentlich schneller der 0 naehert.

[Bohr]

Gregor schrieb:

Ich habe das Potential zu keinem Zeitpunkt nachgerechnet, aber irgendwie gefaellt es mir nicht.

Deswegen hab ich es zum nachvollziehen mal getan:

Bohr schrieb:

Okay, hier man eine Begründung, woher das Potential (in klassischer Feldtheorie) kommt:

Angenommen, das mittlere Potential des Elektrons im 1s-Zustand sei
$\phi(\vec r) = \dfrac{e}{4\pi\epsilon\_0|\vec r|}\mathbb{e}^{-\dfrac{2|\vec r|}{a\_0}}\left(1+\dfrac{|\vec r|}{a_0}\right)$

Wir kennen die Poisson-Gleichung:
$\Delta \phi(\vec r) = -\dfrac{\rho(\vec r)}{\epsilon_0}$

Radialsymmetrisches Problem, da nur abhängig vom Betrag des Vektors, also Laplace-Operator in Kugelkoordinaten (mit $\alpha = \frac{2}{a_0}$):
$\Delta \phi(\vec r) = \Delta \phi(r) = \dfrac{1}{r}\dfrac{\partial^2}{\partial r^2}(r\phi(r)) = \dfrac{e}{4\pi\epsilon\_0r}\dfrac{\partial^2}{\partial r^2}(\mathbb{e}^{-\alpha r}(1+\dfrac{\alpha r}{2})) = \dfrac{e}{4\pi\epsilon\_0r}\mathbb{e}^{-\alpha r}(\alpha^2 - \dfrac{\alpha^2}{2} + \alpha^3 \dfrac{r}{2} - \dfrac{\alpha^2}{2}) = \dfrac{e}{4\pi\epsilon\_0}\dfrac{\alpha^3}{2}\mathbb{e}^{-\alpha r} = \dfrac{e}{4\pi\epsilon\_0}\dfrac{8}{2a\_0^3}\mathbb{e}^{-\alpha r} = \dfrac{e}{\pi\epsilon\_0 a_0^3}\mathbb{e}^{-\alpha r}$

Also folgt aus der Poisson-Gleichung:
$\rho(\vec r) = - \dfrac{e}{\pi a\_0^3}\mathbb{e}^{-\alpha r} = - \dfrac{e}{\pi a\_0^3}\mathbb{e}^{-\dfrac{2r}{a_0}}$

Wellenfunktion des Elektrons im 1s-Zustand:
$\langle \psi \mid x \rangle = \sqrt{\dfrac{1}{a\_0^3\pi}}\mathbb{e}^{-\dfrac{r}{a\_0}}$
Mittlere Ladungsdichte ist dann:
$-e|\langle \psi \mid x \rangle|^2 = - \dfrac{e}{\pi a\_0^3}\mathbb{e}^{-\dfrac{2r}{a\_0}}$
Übereinstimmung der Ladungsverteilungen. Das Potential ist also richtig.

Mathematisch ist das einwandfrei, das Potential steht so auch z.B. im Jackson (Klassische Elektrodynamik).

Gregor schrieb:

Ich waere eigentlich davon ausgegangen, dass sich das Potential mit groesser werdendem x wesentlich schneller der 0 naehert.

Wenn du ein paar der Konstanten aus dem Potential einsetzt, geht's ja auch etwas schneller. Aber so wie das 1s-Orbital ausschaut, hat ein freies Wasserstoff-Atom ein Monopolmoment wie eine positive Ladung (wie gesagt, realitätsfern, da kein freier Wasserstoff existiert, sondern gleich hybridisiert und in der Ferne andere WW viel stärker sind. Aber dass Atome nach außen hin völlig ohne sind, ist eben nicht richtig (das wusste ich am Beginn des Threads nicht), und diese Regel nicht einmal für höhere Multipolmomente, sondern schon für Monopolmomente nicht stimmen. Die Gesamtladung ist natürlich trotzdem 0. Aber für jedes endliche Gauß-Volumen gibt es einen elektrischen Fluss, für jeden Abstand ein elektrisches Feld. Erst, wenn du das Gauß-Volumen über den gesamten Raum erstreckst (also unendlich), ist der Fluss 0 (Beweis: Elektronenladung = Kernladung, da Volumenintegral über Ladungsdichte gleich Volumenintegral über normierte W'keitsdichte mal Ladung gleich Ladung, also Gesamtladung 0).
Jetzt ist das Thema denke ich genug ausgelutscht. Die Antwort liegt in der Austausch-Wechselwirkung.