Kann man mathematisch beweisen, dass 0,000....01 = Null ist?



  • asdqweret schrieb:

    0,9¯=10,\bar{9} = 1 ist falsch

    Nein, ist es nicht, ich kann es dir auch so beweisen:

    \frac{1}{3} = 0,\bar3\\ \\ 0,\bar3 + 0,\bar3 + 0,\bar3 = 0,\bar9\\ \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{3}{3} = \frac{1}{1} = 1\\

    also ist
    0,\bar9 = 1\\


  • Mod

    Ist aber auch 0,00000....01 = 0?

    Wobei hier .... aus n Nullen besteht.

    Du kannst leicht folgendes zeigen:
    -Für endliche n ist das Ding ungleich 0
    -Die Folge, die man daraus basteln kann, konvergiert gegen 0

    Aber der Ausdruck 0,00000....01, wobei .... für unendlich viele Nullen steht, ist Quatsch. Was soll das sein? Eine Zahl mit (Unendlich + 7) Nachkommastellen? Das ist einfach keine Zahl, die du da angegeben hast.



  • SeppJ schrieb:

    Ist aber auch 0,00000....01 = 0?

    Wobei hier .... aus n Nullen besteht.

    Du kannst leicht folgendes zeigen:
    -Für endliche n ist das Ding ungleich 0
    -Die Folge, die man daraus basteln kann, konvergiert gegen 0

    Thx, also nur wenn n = endlich ist, ist es ungleich 0.

    Aber der Ausdruck 0,00000....01, wobei .... für unendlich viele Nullen steht, ist Quatsch. Was soll das sein? Eine Zahl mit (Unendlich + 7) Nachkommastellen? Das ist einfach keine Zahl, die du da angegeben hast.

    Okay, und wie wäre es so:

    110\LARGE\frac{1}{10^{\infty}}

    Dass ergibt genau so etwas:
    0,00000....01


  • Mod

    Unendlich ist keine Zahl. 1010^{\infty} ist keine Zahl. Das kannst du bloß wieder einer Grenzwertbetrachtung unterziehen und dann ist tatsächlich wieder:
    limn110n=0\lim_{n \to \infty}\frac{1}{10^{n}}=0
    wie nicht schwer zu zeigen ist.



  • Gegen Null schrieb:

    asdqweret schrieb:

    0,9¯=10,\bar{9} = 1 ist falsch

    Nein, ist es nicht, ich kann es dir auch so beweisen:

    \frac{1}{3} = 0,\bar3\\ \\ 0,\bar3 + 0,\bar3 + 0,\bar3 = 0,\bar9\\ \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{3}{3} = \frac{1}{1} = 1\\

    also ist
    0,\bar9 = 1\\

    Das überzeugt mich 👍
    Irgendwie habe ich in Mathe 1-4 noch nicht davon gehört.



  • asdqweret schrieb:

    Gegen Null schrieb:

    asdqweret schrieb:

    0,9¯=10,\bar{9} = 1 ist falsch

    Nein, ist es nicht, ich kann es dir auch so beweisen:

    \frac{1}{3} = 0,\bar3\\ \\ 0,\bar3 + 0,\bar3 + 0,\bar3 = 0,\bar9\\ \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{3}{3} = \frac{1}{1} = 1\\

    also ist
    0,\bar9 = 1\\

    Das überzeugt mich 👍

    Sollte es nicht. Genau mit solchen "Beweisen" kann man auch zeigen, dass π=4\pi = 4 gilt etc.

    Man kann das sauber beweisen, indem man z.B. 0.9¯0.\bar 9 als geometrische Reihe aufschreibt und dann zeigt, dass diese Reihe 1 ergibt. Der Beweis über die geometrischen Reihen sollte im Internet zu finden sein.



  • Allgemein: 0,ab=0,a0,\overline{a}b = 0,\overline{a} (wobei a und b je eine beliebige Sequenz aus Ziffern ist).
    Also auch 0,01=00,\overline{0}1=0.
    Beweis (für a, b einzelnen Ziffern, analog für mehrere Ziffern): 0,\overline{a}b=\lim_{n\to\infty}a\cdot(10^{-1}+10^{-2}+10^{-3}+\dots+10^{-n+1})+b\cdot 10^{-n}=a\cdot\sum_{i=1}^\infty 10^{-i}+b\cdot\lim_{n\to\infty}10^{-n}=a\cdot\frac 19+b\cdot 0=\frac a9, wobei i=110i=19i=1910i=0,99=19\sum_{i=1}^\infty 10^{-i}=\frac 19\sum_{i=1}^\infty 9\cdot10^{-i}=\frac{0,\overline{9}}9=\frac 19.

    Dazu: 0,9=limni=1n910i=limn110n+1=10=10,\overline{9}=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n 9\cdot10^{-i}=\lim_{n\to\infty}1-10^{-n+1}=1-0=1



  • Für 0.9¯=10.\bar 9 = 1 kenne ich einen weiteren Pseudo-Beweis aus dem Gymnasium:

    Sei x=0.9¯x = 0.\bar 9. Dann ist 10x=9.9¯10x = 9.\bar 9 und durch subtrahieren erhalten wir 9x=10xx=9x=19x = 10x - x = 9 \Rightarrow x = 1.

    Die Lehrerin war eigentlich Biologin, hat aber auch Mathe unterrichtet. Da sieht man was dabei rauskommt 🤡



  • icarus2 schrieb:

    Für 0.9¯=10.\bar 9 = 1 kenne ich einen weiteren Pseudo-Beweis aus dem Gymnasium:

    Sei x=0.9¯x = 0.\bar 9. Dann ist 10x=9.9¯10x = 9.\bar 9 und durch subtrahieren erhalten wir 9x=10xx=9x=19x = 10x - x = 9 \Rightarrow x = 1.

    Die Lehrerin war eigentlich Biologin, hat aber auch Mathe unterrichtet. Da sieht man was dabei rauskommt 🤡

    Die Reihe konvergiert absolut, deshalb ist die Argumentation völlig richtig.



  • konvabs schrieb:

    icarus2 schrieb:

    Für 0.9¯=10.\bar 9 = 1 kenne ich einen weiteren Pseudo-Beweis aus dem Gymnasium:

    Sei x=0.9¯x = 0.\bar 9. Dann ist 10x=9.9¯10x = 9.\bar 9 und durch subtrahieren erhalten wir 9x=10xx=9x=19x = 10x - x = 9 \Rightarrow x = 1.

    Die Lehrerin war eigentlich Biologin, hat aber auch Mathe unterrichtet. Da sieht man was dabei rauskommt 🤡

    Die Reihe konvergiert absolut, deshalb ist die Argumentation völlig richtig.

    Da steht nix von einer Reihe 😉



  • icarus2 schrieb:

    konvabs schrieb:

    icarus2 schrieb:

    Für 0.9¯=10.\bar 9 = 1 kenne ich einen weiteren Pseudo-Beweis aus dem Gymnasium:

    Sei x=0.9¯x = 0.\bar 9. Dann ist 10x=9.9¯10x = 9.\bar 9 und durch subtrahieren erhalten wir 9x=10xx=9x=19x = 10x - x = 9 \Rightarrow x = 1.

    Die Lehrerin war eigentlich Biologin, hat aber auch Mathe unterrichtet. Da sieht man was dabei rauskommt 🤡

    Die Reihe konvergiert absolut, deshalb ist die Argumentation völlig richtig.

    Da steht nix von einer Reihe 😉

    Die Implizite Annahme ist, dass 0.̅9 = 0.9+0.09+0.009+…



  • konvabs schrieb:

    icarus2 schrieb:

    konvabs schrieb:

    icarus2 schrieb:

    Für 0.9¯=10.\bar 9 = 1 kenne ich einen weiteren Pseudo-Beweis aus dem Gymnasium:

    Sei x=0.9¯x = 0.\bar 9. Dann ist 10x=9.9¯10x = 9.\bar 9 und durch subtrahieren erhalten wir 9x=10xx=9x=19x = 10x - x = 9 \Rightarrow x = 1.

    Die Lehrerin war eigentlich Biologin, hat aber auch Mathe unterrichtet. Da sieht man was dabei rauskommt 🤡

    Die Reihe konvergiert absolut, deshalb ist die Argumentation völlig richtig.

    Da steht nix von einer Reihe 😉

    Die Implizite Annahme ist, dass 0.̅9 = 0.9+0.09+0.009+…

    Merkst du nicht worauf in hinaus will? Es geht darum, dass man einen solchen Beweis wirklich formal genau aufschreiben muss. Klar kann man so ein Argument jenachdem retten. Vielleicht kann man auch den ersten "Beweis", der hier genannt wurde retten. Aber man muss es eben exakt hinschreiben und exakt argumentieren. Alles andere ist kein Beweis.



  • icarus2 schrieb:

    Aber man muss es eben exakt hinschreiben und exakt argumentieren. Alles andere ist kein Beweis.

    Danke 👍



  • icarus2 schrieb:

    Sollte es nicht. Genau mit solchen "Beweisen" kann man auch zeigen, dass π=4\pi = 4 gilt etc.

    Echt? Zeig mal!



  • Jester schrieb:

    icarus2 schrieb:

    Sollte es nicht. Genau mit solchen "Beweisen" kann man auch zeigen, dass π=4\pi = 4 gilt etc.

    Echt? Zeig mal!

    Siehe Pi = 4. Ist im Prinzip ein intuitiv einleuchtendes Argument und ich bin mir sicher, dass dies viele als Beweis akzeptieren würden, wenn sie nicht wüssten, dass π4\pi \neq 4 gilt.

    Es zeigt einfach, dass die Intuition bei unendlichen Objekten schnell versagt. Im Fall 0.3¯+0.3¯=0.6¯0.\bar 3 + 0.\bar 3 = 0.\bar 6 ist die Intuition (man denkt sich, dass es für endlich viele Stellen gilt und schliesst dann auf unendlich viele Stellen) zwar richtig, reicht aber definitiv nicht als Beweis.



  • Ich sehe das so: die dezimaldarstellung ist genau eine kurzschreibweise für die reihe. Insofern ist das vollkommen äquivalent. Natürlich sollte man sich als angehender mathematiker/informatiker mal damit auseinandersetzen und sich das klar machen und auch lernen solche beweise möglichst präzise zu führen.

    Ich würde allerdings nicht so weit gehen das nun als einzig möglichen Weg zu bezeichnen und alles andere als falsch. Da stecken immerhin genau die richtigen Ideen drin, und wenn man die definition der dezimalschreibweise anwendet, ist es sogar genau richtig hingeschrieben. Ich denke da sollte man schon das richtige Maß an Formalisierung finden -- zu viel hilft auch nicht unbedingt.



  • zahlabschneider schrieb:

    Allgemein: 0,ab=0,a0,\overline{a}b = 0,\overline{a} (wobei a und b je eine beliebige Sequenz aus Ziffern ist).
    Also auch 0,01=00,\overline{0}1=0.
    Beweis (für a, b einzelnen Ziffern, analog für mehrere Ziffern): 0,\overline{a}b=\lim_{n\to\infty}a\cdot(10^{-1}+10^{-2}+10^{-3}+\dots+10^{-n+1})+b\cdot 10^{-n}=a\cdot\sum_{i=1}^\infty 10^{-i}+b\cdot\lim_{n\to\infty}10^{-n}=a\cdot\frac 19+b\cdot 0=\frac a9, wobei i=110i=19i=1910i=0,99=19\sum_{i=1}^\infty 10^{-i}=\frac 19\sum_{i=1}^\infty 9\cdot10^{-i}=\frac{0,\overline{9}}9=\frac 19.

    Dazu: 0,9=limni=1n910i=limn110n+1=10=10,\overline{9}=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n 9\cdot10^{-i}=\lim_{n\to\infty}1-10^{-n+1}=1-0=1

    Wie kommst du von hier:

    ai=110i+blimn10na\cdot\sum_{i=1}^\infty 10^{-i}+b\cdot\lim_{n\to\infty}10^{-n}

    nach hier:

    a19+b0=a9a\cdot\frac 19+b\cdot 0=\frac a9

    Also warum? Hier kann ich, zumindest bis jetzt, nicht mehr folgen.

    Woher kommen die 1/9?
    b*0 wird ja zu 0, aber du brauchst ne 1, die du am Anfang ja für b noch hast, da gilt:
    0,ab=0,010,\overline{a}b = 0,\overline{0}1

    Ich bin verwirrt.



  • icarus2 schrieb:

    Siehe Pi = 4. Ist im Prinzip ein intuitiv einleuchtendes Argument und ich bin mir sicher, dass dies viele als Beweis akzeptieren würden, wenn sie nicht wüssten, dass π4\pi \neq 4 gilt.

    Der Beweis scheitert aber nicht daran, "dass die Intuition für unendliche Objekte versagt", sondern dass die falsche Norm für die Raumkurve des Kreises verwendet wird. Was in dem Beweis falsch gemacht wird ist, dass in

    http://de.wikipedia.org/wiki/Länge_(Mathematik)#Parameterdarstellung

    die euklidische Norm durch die 1-Norm ersetzt wird. Offensichtlich muss das ein anderes Ergebnis liefern. Dass pi nach Definition des Kreisumfangs von der verwendeten Norm abhängig ist, ist aber ein recht alter Hut und wurde hier im Forum schon mehrmals thematisiert. Unabhängig davon glaube ich aber, dass der Beweis mit der verwendeten Norm richtig ist.(oder zumindest, dass das Ergebnis korrekt ist)

    //edit
    Zum Thema Gymnasiumsbeweise: Man muss da Abstriche machen und Beweise verwenden, die so nah wie möglich am echten Ding sind, ohne dass man die ganze Theorie mitschleppen muss, die die Schüler aus guten Gründen nicht haben.

    Insofern finde ich den ltzten Beweis voll okay, wenn dazu genau besprochen wird, was mit der periode gemeint ist. Denn dann kann man dies als alternative Darstellung einer Reihe verwenden. Der Beweis hat natürlich das Problem, das unendlich oft das Distributivgesetz angewendet wird, aber das tun wir bei der expliziten Reihendarstellung auch - nur dass wir vorher noch ein beliebiges Kriterium anwenden um Konvergenz zu zeigen. Hier in diesem speziellen Fall ist aber klar, dass die Reihe konvergiert (es geht ja im Endeffekt im Gymnasiumsbereich nur um die Frage, ob das 1 ist oder irgendwas geringfügig kleineres, Konvergenz wird da vorausgesetzt).



  • otze schrieb:

    Dass pi nach Definition des Kreisumfangs von der verwendeten Norm abhängig ist, ist aber ein recht alter Hut und wurde hier im Forum schon mehrmals thematisiert. Unabhängig davon glaube ich aber, dass der Beweis mit der verwendeten Norm richtig ist.(oder zumindest, dass das Ergebnis korrekt ist)

    Jo, man wird schon eine Folge einbeschriebener Polygone finden können, deren Umfang streng monoton steigt und gegen 4 strebt.
    ~(Haha, um genau zu sein, hat man dann bewiesen, daß 3.99999…<=[e]Pi[/e]<=4, was uns zur Eingangsfrage führt.)
    ~



  • otze schrieb:

    icarus2 schrieb:

    Siehe Pi = 4. Ist im Prinzip ein intuitiv einleuchtendes Argument und ich bin mir sicher, dass dies viele als Beweis akzeptieren würden, wenn sie nicht wüssten, dass π4\pi \neq 4 gilt.

    Dass pi nach Definition des Kreisumfangs von der verwendeten Norm abhängig ist, ist aber ein recht alter Hut und wurde hier im Forum schon mehrmals thematisiert. Unabhängig davon glaube ich aber, dass der Beweis mit der verwendeten Norm richtig ist.(oder zumindest, dass das Ergebnis korrekt ist)

    Ok das klingt einleuchtend aber ich hab mit dem "Beweis" irgendwie noch ein Problem: Die Ecken des Quadrates werden so lange geknickt, bis das Quadrat nahezu ein Kreis ist. ==> Umfang Kreis ≈ Umfang Quadrat. Aber wie kann das sein? Mein Verstand sagt mir, das ein Quadrat das nahezu den selben Umfang wie ein Kreis hat, den Kreis nicht vollständig umschließen kann. In dem Beweis ist das aber der Fall.
    Irgendwie steh ich da grad total auf dem Schlauch...

    Wo ist mein Denkfehler??
    floorball


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