Differentialgeometrie
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Ach sorry, aber wenn man so eine bescheuerte Frage erestmal stellen muss und nicht in der Lage ist sich entsprechende Literatur selbst zusammenzusuchen dann ist sowieso Hopfen und Malz verloren.
But I am never forget the day my first book is published.
Every chapter I stole from somewhere else.
Index I copy from old Vladivostok telephone directory.
This book was sensational!
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@Swordfish, du bist nicht hilfreich. Man will nicht die 200 Bücher zu Differentialgeometrie in der Unibibliothek auf gut Glück durchprobieren.
Zum Thema: Habe leider keinen konkreten Tipp. Ich war schwer enttäuscht von der Fähigkeit meiner Professoren und von deren Buchtipps, mir die Differentialgeometrie beizubringen. Ich hätte es gerne besser verstanden als ich es habe und die schlechten Erklärungen waren gewiss einer der Gründe, wieso ich später ein anderes Fachgebiet gewählt habe. Ich weiß leider die Titel nicht mehr, daher kann ich auch keine Negativwarnungen geben.
(Ist natürlich auch ein nicht ganz einfaches Thema, was einen gewissen Anteil an der schlechten Vermittelung haben mag, die ich erfahren habe)
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@SeppJ ach Sepp, wenn man Interesse daran hat findet man das selbst raus. Wie hast Du jemals etwas gelernt? Du bist doch auch nicht der Typ der sich etwas vorkauen lässt.
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@Swordfish sagte in Differentialgeometrie:
@SeppJ ach Sepp, wenn man Interesse daran hat findet man das selbst raus. Wie hast Du jemals etwas gelernt? Du bist doch auch nicht der Typ der sich etwas vorkauen lässt.
Ich habe doch nicht das erstbeste Buch aus dem Regal gegriffen!? Natürlich habe ich andere Leute gefragt, was sie empfehlen würden. 80% von allem ist Mist, das gilt auch für Physikbücher.
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@SeppJ sagte in Differentialgeometrie:
Natürlich habe ich andere Leute gefragt, was sie empfehlen würden.
Naja, dann vermisse ich Deine Empfehlung.
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Ja das ist das allgemeine Problem mit den Büchern, inhaltlich stimmt das meiste, aber den Stoff didaktisch gut zu vermitteln ist wohl eine grosse Herausforderung.
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@biter sagte in Differentialgeometrie:
Ja das ist das allgemeine Problem mit den Büchern, inhaltlich stimmt das meiste, aber den Stoff didaktisch gut zu vermitteln ist wohl eine grosse Herausforderung.
Der Punkt ist, dass Du bisher nicht erklärt hast was Du wirklich wissen willst, und welches Vorwissen Du hast. Was für Mathematikvorlesungen hast Du gehabt? Sprich was von den wichtigen Themengebieten aus der Mathematik sind Dir bekannt? Fang einfach mal an zu erzählen was Du noch weißt.
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Also zur Zeit habe ich einen grossen Wissensdurst. Mein Traum, sich auf jedem Gebiet der Mathematik gut auszukennen. Ok, im Physik-Grundstudium habe ich Lineare Algebra und Analysis belegt, war aber ein schlechter Physik-Student, habe den Pascal-Programmierkurs mehrfach belegt, nur um im Rechenzentrum beim Grossrechner mein Schachprogramm zu schreiben zu können. Musste aber dann das Studium wegen einer schlimmen Krankheit abbrechen, konnte dann noch nach Karlsruhe zum Informatik-Studium wechseln, dieses aber auch nicht abschliessen. Differntialgleichungen, gewöhnliche und partielle, habe ich mir erst vor kurzer Zeit angeeignet. Der Band „Mathematische Methoden in der Physik; Lang, Pucker“ steht bei mir im Regal, da habe ich unter anderem Variationsrechnung gelernt. Für die nächste Zeit möchte ich neben Differentialgeometrie noch Numerik, und eben das technische Vermögen mir aneigenen. Wozu mache oder will ich das ? Einfach eine sinnvolle Beschäftigung, die einen herausfordert, und meinen Kopf anstrengt.
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Wie tief soll das Verständnis gehen? Wenn es tief gehen soll, bleiben nur die klassischen mathematischen Lehrbücher übrig, um sich die Funktionalanalysis (Spektraltheorie), Funktionentheorie und die Vektoranalysis reinzuziehen. Ja, ist harte Kost, oder geht es nur um das damit rechnen zu können? Die Funktionalanalysis ist kein Thema, was in Ingenieursstudiengängen üblicherweise behandelt wird. Deshalb gibt es im Grunde nur original mathematische Literatur. Ich habe das Buch von Werner, wie erwartet trockene Kost.
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Also es geht mir erstmals darum, damit rechnen zu können, fürs erste, und nicht die Beweise zu erlernen, die schaue ich mir erst später an, in der zweiten Schicht. Es ist wichtig den guten Zugang zu erhalten, dann lesen sich die Texte leicht, deshalb suche ich erst mal Bücher die einen gut begleiten. Während meinem Studium, habe ich Mathematikbücher von der "Schaum" Reihe gekauft. Da sind sehr viele Aufgaben mit Lösungen enthalten, nur das Layout ist schlecht strukturiert. Vielen Dank für Euren Einsatz, wenn Ihr wollt, beenden wir hier.
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@john-0 sagte in Differentialgeometrie:
Der Punkt ist, dass Du bisher nicht erklärt hast was Du wirklich wissen willst, und welches Vorwissen Du hast. Was für Mathematikvorlesungen hast Du gehabt? Sprich was von den wichtigen Themengebieten aus der Mathematik sind Dir bekannt? Fang einfach mal an zu erzählen was Du noch weißt.
Doch, hat er. Zitat: "Vorwissen: Lineare Algebra, Analysis, verschiedene weitere Themen, Differentialgleichungen"
@Swordfish Und wieder einmal gilt: wenn du keine Ahnung hast, besser mal die Fresse halten. Das, was du hier machst, nennt sich trollen.
@biter Schau mal hier: https://www.physikerboard.de/topic,34983,-buchempfehlung-fuer-differentialgeometrie.html
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Danke für die Tipps, WebFritzi, ich habe mir eins davon zur Ansicht bestellt, kommt morgen. Wenn es mir gefällt, melde ich mich nochmals.
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@WebFritzi sagte in Differentialgeometrie:
Doch, hat er. Zitat: "Vorwissen: Lineare Algebra, Analysis, verschiedene weitere Themen, Differentialgleichungen"
Z.B. Analysis ist ein sehr weites Feld. Das fängt bei Analysis mit einer Variablen an und geht bis hin zur Funktionalanalysis, die man in der Physik im Grunde schon für die Mechanik braucht um die Variationsrechnung korrekt behandeln zu können. In den Anfängerbücher der Physik wird gerne mit einfacheren Mittel Variationsrechnung gemacht, weil Studenten in ihrem Studium das notwendige mathematische Rüstzeug meistens noch nicht gelernt haben, da die theoretische Mechanikvorlesung zuerst stattfindet. Dazu ist die Funktionentheorie sehr wichtig, häufig wird das Redisiduenkalkül genutzt.
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@john-0 Wenn er/sie "Analysis, Lineare Algebra" schreibt, dann ist mehr oder weniger klar, wie sein/ihr Background ist: Student nach einem oder zwei Semestern. Für die klassische Differentialgeometrie (DG) reicht Analysis II. Funktionnalanalysis (FA) und DG sind ziemlich disjunkt. Man mag FA in der Physik brauchen (spätestens in der klassischen Quantenmechanik), aber bzgl. biters Frage spielt sie keine Rolle.
Aber mal eine Frage an dich: Da ich zwar Funktionalanalytiker bin, aber von ihren Anwendungen nicht viel Ahnung habe, interessiert mich, welche Themen der FA in physikalischen Variationsproblemen zum Einsatz kommen. Kannst du dazu mehr sagen?
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Ich habe nun ein Buch gekauft, es scheint gut zu sein: "Wolfgang Kühnel, Differentialgeometrie, Aufbaukurs Mathematik, Springer Spektrum" Mit viel Text und sehr anschaulich, mit vielen Aufgaben und Lösungen, da habe ich viel Denkfutter !
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@WebFritzi sagte in Differentialgeometrie:
Aber mal eine Frage an dich: Da ich zwar Funktionalanalytiker bin, aber von ihren Anwendungen nicht viel Ahnung habe, interessiert mich, welche Themen der FA in physikalischen Variationsproblemen zum Einsatz kommen. Kannst du dazu mehr sagen?
Die klassische Mechanik in der theoretischen Physik Vorlesung wird man meistens wegen der fehlenden Mathematikkenntnisse am historischen Original gelehrt. Wenn man im Hauptstudium darauf zurückkommt, wird die Mechanik nur noch über Hamilton-Jacobische-Theorie vermittelt. Der ganze Formalismus ähnelt schon rein von der Form her sehr dem der QM: Hamilton-Funktion, Poisson-Klammern, Lagrange-Dichte, etc.
Wenn man nun Variationsrechnung macht, sucht man eine Funktion, die die Gleichung erfüllt und bekommt sie in dem man mit Hilfe der FA das Funktional minimiert. Der ganze Aufwand, den man in Grundstudium lernt, ist im Prinzip überflüssig, wenn man einmal die FA kennt. In der QM gibt es dann die DFT (Dichtefunktionaltheorie) mit deren Hilfe man das Vielteilchenproblem in der QM vereinfachen kann.
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@john-0 Danke für deinen Beitrag, aber leider beantwortet dieser meine Frage nicht. Ich hatte gefragt, welche funktionalanalytischen Themen/Methoden dort zum Einsatz kommen. Die FA ist ja ein weites Feld. Ist es z.B. die Theorie der lokalkonvexen Räume oder doch mehr Operatortheorie? Vielleicht Fourier-Analysis? Ich hoffe, du verstehst, was ich meine.
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@WebFritzi sagte in Differentialgeometrie:
@john-0 Danke für deinen Beitrag, aber leider beantwortet dieser meine Frage nicht. Ich hatte gefragt, welche funktionalanalytischen Themen/Methoden dort zum Einsatz kommen. Die FA ist ja ein weites Feld. Ist es z.B. die Theorie der lokalkonvexen Räume oder doch mehr Operatortheorie? Vielleicht Fourier-Analysis? Ich hoffe, du verstehst, was ich meine.
Die Feldtheoretischen Ansätze verwenden grundsätzlich Operatorentheorie, die in der QM insbesondere. In der QM spricht man hier von der zweiten Quantisierung und macht den Übergang zu QFT (Quantenfeldtheorie). Alles in der QM lebt auf Hilberträumen. Wenn man den Dirac-Formalismus nutzt, d.h. den ket-Vektor schreibt, dann ist der dazu passende bra-Vektor aus dem Dualraum. Operatoren sind in der QFT extrem wichtig und werden exzessesiv genutzt. Ich weiß jetzt nicht was Du mit Fourier-Analysis meinst, aber Fourier-Transformationen bzw. Fourier-Räume werden ständig genutzt. Insbesondere in der Festkörpertheorie, da das reziproke Gitter der Fourierraum zum normalen Gitter ist. Viele Formeln lassen sich auf dem reziproken Gitter leichter lösen wie auf dem Gitter.
Ich weiß jetzt nicht was Du mit lokalkonvex meinst, Hilberträume sind es. In der QM kommt man nicht mit weniger aus, insofern ergibt es in der Physik wenig Sinn, sich mit Räumen zu befassen, die keine Hilberträume sind.
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Ich weiß jetzt nicht was Du mit lokalkonvex meinst, Hilberträume sind es. In der QM kommt man nicht mit weniger aus, insofern ergibt es in der Physik wenig Sinn, sich mit Räumen zu befassen, die keine Hilberträume sind.
Soweit ich weiß, wird in der Physik auch oft mit Distributionen gerechnet (Bsp.: Delta-Distribution). Dies sind keine Funktionen, sondern Funktionale, die entweder auf dem Raum der Schwarzfunktionen oder auf dem Raum der unendlich oft diffbaren Funktionen mit kompaktem Träger definiert sind. Mit der jeweils natürlichen Topologie wird der jeweilige Raum zum lokalkonvexen Raum und die Distributionen sind stetige Funktionale darauf.
Mir hingegen ist nicht klar, was du mit "Gitter" und "Fourierraum" meinst. Ein Gitter ist für mich eine regelmäßige Anordnung von Punkten im IR^n. Ist das gemeint?
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@WebFritzi sagte in Differentialgeometrie:
Soweit ich weiß, wird in der Physik auch oft mit Distributionen gerechnet (Bsp.: Delta-Distribution). Dies sind keine Funktionen, sondern Funktionale, die entweder auf dem Raum der Schwarzfunktionen oder auf dem Raum der unendlich oft diffbaren Funktionen mit kompaktem Träger definiert sind. Mit der jeweils natürlichen Topologie wird der jeweilige Raum zum lokalkonvexen Raum und die Distributionen sind stetige Funktionale darauf.
Ja, wird laufend benutzt. Im physikalischen Experiment, wird eher eine Approximation einer Delta-Distribution verwendet, weil es eine echte Delta-Distribution nicht geben kann. Das was aus den Funktionsgeneratoren heraus kommt, sieht daher immer wie eine mehr oder minder gute Fourier-Transformation des gewünschten Signals aus, und es mathematisch betrachtet wieder eine Funktion.
Mir hingegen ist nicht klar, was du mit "Gitter" und "Fourierraum" meinst. Ein Gitter ist für mich eine regelmäßige Anordnung von Punkten im IR^n. Ist das gemeint?
Nein, ich meine nicht mathematische Gitter (salopp formuliert einen Vektorraum bei denen die Vektoren ganzzahlige Vielfache der Basisvektoren sind) sondern physikalische Gitter (Bravais-Gitter um genau zu sein), d.h. alles spielt sich im IR³ ab (normaler mathematischer Vektorraum und kein mathematisches Gitter, dafür sind die Basisvektoren des Bravais-Gitter nur wieder ganzzahlig linearkombinierbar). Verwirrend, aber die Mathematik spielt sich auf einem Kontinuum ab, die Physik hat eine diskrete Struktur. Der Grund weshalb man auf einem Kontinuum rechnet ist einfach. Erst die Lösung der Formeln für das Vielteilchenproblem ergibt sich die diskrete Struktur des Gitters, zum Berechnen braucht man das Kontinuum.
Man beschreibt mit so einem Bravais-Gitter die Positionen der Atome in Kristallen Kristallgitter und dazu gibt es das reziproke Gitter. Das reziproke Gitter ist einfach die Fourier-Transformation des normalen Gitters. Die Formeln lassen sich nun jeweils für beide Darstellungen des Gitters formulieren, und wenn man Rechnungen in der QM für Festkörper machen will, stellt man schnell fest, dass sich viele Formeln sehr viel leichter berechnen lassen, wenn man sie auf dem reziproken Gitter berechnet.
