Was ist eine Falte?
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Ich beschäftige mich gerade mit dem Buch "Fraktale: Theorie und Praxis der deterministischen Geometrie".
Dies beginnt mit der Definition von metrischen Räumen, äquivalente Metriken, Homomorphismen,...
Im weiteren Kapitel tauchen dann Transformationen auf. Viele Fraktale basieren auf einfachen Transformationen drehen, falten, kopieren, skalieren,...
Und auf einmal taucht der Begriff Falte auf, ohne dass eine Definition erfolgte, sondern nur ein paar Bilder dazu gezeigt wurden. Dazu wurde die Aufgabe gestellt zu zeigen, dass jede Falte auch ein Extremwert darstellt.
Nach einer Recherche bin ich zur folgenden Kenntnis gekommen:
Eine Falte ist in Extremwert, welcher kein Sattelpunkt ist und die dazugehörige Funktion dementsprechend nicht injektiv ist. Folgendes Beispiel:
f(x, y) = ((x-1)^2 + 1, y)
Für f(2, y) erhalte ich (2, y) und für f(0, y) erhalte ich ebenfalls (2, y). Das bedeutet beide Punkte werden auf den gleichen Punkt transformiert.
Wenn nun z.B. x, y Pixel-Koordinaten darstellen und man ein Schwarz-Weiß Bild transformiert, in dem man alle schwarzen Pixel mittels der obigen Funktion transformiert, so wird die Faltung sichtbar.
Stimmt dies so?
BTW: Die KI hat mich hier etwas verwirrt, in dem sie meinte "dass f(x)=x^4 hätte bei x=0 ein Extremum aber keine Falte, weil die Funktion lokal injektiv bleibt (Ableitung verschwindet höherer Ordnung)". Und das kann ich so nicht nachvollziehen, da das obige Argument erhalten bleibt. Stünde hier f(x)=x^3, wäre dies was anderes.
