Was ist das?

Bashar

$\int e^{-x^2}dx$
beispielsweise

0x00000001

Danke @ lustig, das hat mir jetzt wirklich geholfen. In meinem 30? Mathebuch stehen zwar Formeln und Beispiele, aber kein einziger Satz der das mal erklären würde.

Eine Sache hab ich aber noch nicht ganz durchschaut: Die Rücksubstitution 2 ln( u+1) => ln( √x+1 )²

Da u = x² ist wäre für mich ln( x²+1 ) irgendwie logischer. Wie geht das genau?

lustig

@MaSTaH stimmt, tönt viel besser

Es heisst x=u², d.h. u=√x
2*ln(u+1)=2*ln(√x+1)
Ich habe bloss das 2 noch in den ln reingenommen: 2*ln(√x+1)=ln(√x+1)² man kann es aber genausogut so lassen.

Christoph

Bashar schrieb:

$\int e^{-x^2}dx$
beispielsweise

Maple sagt zur Stammfunktion von $e^{-x^2}$ :
$\frac{1}{2}\sqrt{\pi}\cdot\mathrm{erf}(x)$
Nur was ist erf(x)?
Lt. der Hilfe ist das die "Error Function", die so definiert ist:

2/sqrt(Pi) * int(exp(-t^2), t=0..x)

Irgendwie steckt da wieder unser $e^{-x^2}$ mit drin.

Ist das nur eine unglückliche Umschreibung für "nicht analytisch integrierbar"?

Jester

Jau, ich denke genau sowas soll das sein.

Taurin

MaSTaH schrieb:

lustig schrieb:

Deshalb heisst es ja auch: "Differenzieren ist Arbeit, Integrieren ist Kunst!"

Es heißt aber afaik "Differenzieren ist Handwerk, Integrieren ist Kunst!"

Ein Dozent von mir dazu: Bevor du ein Integral löst, überlege dir dreimal,
ob du das überhaupt tun musst.

Winn

cd9000 schrieb:

Bashar schrieb:

$\int e^{-x^2}dx$
beispielsweise

Maple sagt zur Stammfunktion von $e^{-x^2}$ :
$\frac{1}{2}\sqrt{\pi}\cdot\mathrm{erf}(x)$
Nur was ist erf(x)?
Lt. der Hilfe ist das die "Error Function", die so definiert ist:
2/sqrt(Pi) * int(exp(-t^2), t=0..x)
Irgendwie steckt da wieder unser $e^{-x^2}$ mit drin.

Ist das nur eine unglückliche Umschreibung für "nicht analytisch integrierbar"?

Stimmt so nicht... denn die Ableitung oder Integration einer E-Funktion beeinhaltet immer ein E-Funktion, daß zeichnet quasi diesen Typ von Funktion aus. Die Error Function ist (ums kurz zu umschreiben) ein fester Bestandteil in der Mobiltechnik, mit Ihr läßt sich mathematisch beweisen, wie man einen technischen Schwellwert zu setzen hat, um eine 1 als 1 zu erkennen oder eine 0 als 0 zu erkennen... würde man einen falschen Schwellwert setzen, hätte man eine dermaßen schlechte Fehlerkorrektur, daß man sich z.B. bei schlechtem Wetter nicht mehr unterhalten kann, die Worte würde verstümmelt sein.

Bashar

Winn schrieb:

Stimmt so nicht... denn die Ableitung oder Integration einer E-Funktion beeinhaltet immer ein E-Funktion, daß zeichnet quasi diesen Typ von Funktion aus.

Was stimmt nicht?

WebFritzi

Dass das nur eine unglückliche Umschreibung für "nicht analytisch integrierbar" ist.

Bashar

Vielleicht könnte uns unwissende ja mal jemand aufklären ... Dass die Error Function eine e-Funktion sein soll, akzeptiere ich jedenfalls nicht ohne weiteres.

Winn

WebFritzi schrieb:

Dass das nur eine unglückliche Umschreibung für "nicht analytisch integrierbar" ist.

Jipp, WebFritzi hatte mich richtig verstanden, es ist unglücklich ausgedrückt... @Bashar: Integration von Funktionen können bestimmt oder unbestimmt gemacht werden, die unbestimmte Variante ist in der Regel die "Analytische", während die Bestimmte eine Funktion von z.B. 3 bis 7 integriert. Bei der Error Function handelt es sich um einen analytischen "Ausdruck", einen Weg den die Mathematiker immer gehen wenn sie etwas nicht genau beschreiben können bzw. schreibfaul sind. Wenn Du die Error Function also nutzt, benutzt Du den analytischen Ausdruck. Berechnung des bestimmten Integrals erfolgt mit einem Tabellenwerk. Insofern ist sie analytisch unbestimmt integrierbar, aber nicht analytisch bestimmt integrierbar. Ein weiteres Beispiel wäre die Gaussfunktion (Wahrscheinlichkeitsrechnung), die auch ein Quadrat im Exponentes der E-Funktion hat, dort schlägst Du auch im Tabellenwerk nach, aber den Ausdruck der unbestimmten Integration läßt sich ebenfalls hinschreiben.

Ich hoffe, ich konnte den Unterschied rausschälen. By the way... integriere mal 50mal e^x oder leite es ab, es kommt "immer" e^x raus. Es gibt keine Funktion die diese Eigenschaft noch besitzt.

Winn

Bashar

Winn schrieb:

@Bashar: Integration von Funktionen können bestimmt oder unbestimmt gemacht werden, die unbestimmte Variante ist in der Regel die "Analytische", während die Bestimmte eine Funktion von z.B. 3 bis 7 integriert. Bei der Error Function handelt es sich um einen analytischen "Ausdruck", einen Weg den die Mathematiker immer gehen wenn sie etwas nicht genau beschreiben können bzw. schreibfaul sind.

Damit wird die Aussage, eine Funktion sei analytisch integrierbar, zu einer Tautologie. Wenn ich feststelle, dass es irgendwie nicht so hinhaut wie ich mir das vorstelle, erfinde ich mal eben die Bashar-Funktion.

Ich hoffe, ich konnte den Unterschied rausschälen. By the way... integriere mal 50mal e^x oder leite es ab, es kommt "immer" e^x raus. Es gibt keine Funktion die diese Eigenschaft noch besitzt.

Ach was, wirklich?
Was das mit e^(-x2) zu tun hat musst du mir aber noch erklären.

Jester

[quote="Winn]
integriere mal 50mal e^x oder leite es ab, es kommt "immer" e^x raus. Es gibt keine Funktion die diese Eigenschaft noch besitzt.
[/quote]
Oh wirklich?

Ich träumte 3*e^x hätte ne ähnliche Eigenschaft...
Außerdem ist int(e^x) = e^x+3 != e^x :p

weiss nich ob das jetzt was hilft aber auf: http://mathe-online.at/mathint/int/i.html#Computer

hab ich das zu erf(x) gefunden:
"Manchmal werden Funktionen ausgegeben, deren Namen Sie vielleicht nicht kennen. (Integrieren Sie beispielsweise e-x2, so kann das Resultat die Bezeichnung "erf" oder "Erf" - für error function - enthalten). In der Regel bedeutet das, dass die angegebene Funktion nicht geschlossen integrierbar (s.o.), für gewisse Zwecke aber wichtig genug ist, um einen eigenen Namen erhalten zu haben. "

Winn

Bashar schrieb:

Was das mit e^(-x2) zu tun hat musst du mir aber noch erklären.

Definiere -(x^2) zu y und setze e^y, mit den Regeln der Substitution kannst Du nun weiter machen und stellst fest, daß Dein Ausdruck e^y wieder auftaucht...

Bashar schrieb:

Damit wird die Aussage, eine Funktion sei analytisch integrierbar, zu einer Tautologie. Wenn ich feststelle, dass es irgendwie nicht so hinhaut wie ich mir das vorstelle, erfinde ich mal eben die Bashar-Funktion.

gg, na denn mal los... ähnliche Funktionen sind z.B. die Besselfunktion, die Tau-Funktion usw.

Jester schrieb:

Ich träumte 3*e^x hätte ne ähnliche Eigenschaft...
Außerdem ist int(e^x) = e^x+3 != e^x

gg, immer diese Feinheiten... int(e^x)=ex und diff(e^x)=ex, "alles andere" läßt sich durch Substitution und/oder Kettelregel lösen (zumindest die Meisten ;))

Bashar

Ich versteh nicht, ob du einfach nicht akzeptierst, dass sich erf nicht elementar darstellen läßt, oder ob du auf irgendeine Subtilität anspielst, die ich nicht verstehe.

Winn

Bashar schrieb:

... sich erf nicht elementar darstellen läßt...

dann haben wir aneinander vorbei geredet, nene das wollte ich nicht damit sagen... ich wollte nur sagen und damit kann ich an dem anknüpfen was defob schrieb, daß Funktionen die wichtig für die Mathematik sind, Namen bekommen, sie werden dadurch nicht elementar, aber erkennbar... deswegen erwähnte ich auch die Gaussfunktion, Bessel, Tau, Gamma, Legendre und weiß der Geier, es sind alles Beispiele dafür. Der Punkt ist, daß Mathematiker an dieser Stelle aufhören zu rechnen, weil sie für sie ein "elementarer" Zustand sind oder besser, hier können sie nicht mehr analytisch weiterrechnen... und an den Karren wollt ich Dir schon gar nicht fahren.

Winn

Bashar

Gut. Einigen wir uns darauf, dass mit "analytisch integrieren" die Darstellung der Stammfunktion als Zusammensetzung elementarer Funktionen (ohne unendliche Reihen und dergleichen) gemeint war.

Christoph

Dann ist $\mathrm{e}^{-x^2}$ also "analytisch integrierbar"?

SG1

Nein, da man dazu eben z.B. erf() braucht, was keine elementare Funktion ist.