wieso ist...

[wissenwoller]

...ein polynom über z, dessen koeffizienten die dezimalkoeffizienten einer primzahl sind, irreduzibel?

[Taurin]

$p(z) = 2z^2 + 3z = z \cdot (2z + 3)$
Ist das nicht ein Gegenbeispiel?

[Christoph]

Taurin schrieb:

$p(z) = 2z^2 + 3z = z \cdot (2z + 3)$
Ist das nicht ein Gegenbeispiel?

230 ist nicht prim.

[Taurin]

Ah, ok. Ich hatte verstanden, die Koeffizienten des Polynoms müssten prim sein.

Dann der Beweis:

Sei p(z) unser Polynom, wobei p(10) prim.

Ann.: Es existieren Polynome q(z), w(z), so dass p(z) = q(z)*w(z) eine Zerlegung von p(z).
Dann gilt insb. auch: p(10) = q(10)*w(10).

Findest du den Widerspruch?

[Christoph]

Taurin schrieb:

Sei p(z) unser Polynom, wobei p(10) prim.

Ann.: Es existieren Polynome q(z), w(z), so dass p(z) = q(z)*w(z) eine Zerlegung von p(z).
Dann gilt insb. auch: p(10) = q(10)*w(10).

Findest du den Widerspruch?

OBdA ist dann q(10) = 1. Aber damit weißt du IMHO nur, dass q an einer einzigen Stelle den Wert 1 annimmt, nicht aber, dass es das Neutralelement der Polynom-Multiplikation darstellt.

@OP: $x^3 - 8x^2 - 8x - 9 = (x-9)(x^2+x+1)$ ist ein Gegenbeispiel (1889 ist prim). Oder, wenn es tatsächlich nur um p(10) und nicht und die Dezimalstellen selbst geht: $p(x) = x^3 - 9x^2 + x - 9 = (x-9)(x^2+1)$, da p(10) = 101 ist.
Würdest du die Frage noch ein wenig präzisieren oder sind das tatsächlich Gegenbeispiele?

[Xul]

131 ist eine Primzahl, daher soll sich das Polynom $x^2+3x+1$ nicht vereinfachen lassen? Mal schauen:
$x^2+3x+1=0$

$x_{1,2}=-\frac{3}{2}\pm\sqrt{\frac{9}{4}-1}=\frac{-3\pm\sqrt{5}}{2}$
Nach dem Satz von Vieta lässt sich $x^2+3x+1$ also auch als $(x-\frac{-3+\sqrt{5}}{2})\cdot (x-\frac{-3-\sqrt{5}}{2})$ darstellen. Auch die Wikipedia sagt:

Wikipedia schrieb:

Ein Polynom vom Grad 2 oder 3 ist genau dann irreduzibel, wenn es keine Nullstelle hat.

[Christoph]

Xul schrieb:

$x_{1,2}=-\frac{3}{2}\pm\sqrt{\frac{9}{4}-1}=\frac{-3\pm\sqrt{5}}{2}$
Nach dem Satz von Vieta lässt sich $x^2+3x+1$ also auch als $(x-\frac{-3+\sqrt{5}}{2})\cdot (x-\frac{-3-\sqrt{5}}{2})$ darstellen.

Nur liegt weder $\frac{-3+\sqrt5}2$ noch $\frac{-3-\sqrt5}2$ in $\mathbb{Z}$, daher hat dieses Polynom in den ganzen Zahlen keine Nullstelle.

[OP]

Christoph schrieb:

Taurin schrieb:

Sei p(z) unser Polynom, wobei p(10) prim.

Ann.: Es existieren Polynome q(z), w(z), so dass p(z) = q(z)*w(z) eine Zerlegung von p(z).
Dann gilt insb. auch: p(10) = q(10)*w(10).

Findest du den Widerspruch?

OBdA ist dann q(10) = 1. Aber damit weißt du IMHO nur, dass q an einer einzigen Stelle den Wert 1 annimmt, nicht aber, dass es das Neutralelement der Polynom-Multiplikation darstellt.

@OP: $x^3 - 8x^2 - 8x - 9 = (x-9)(x^2+x+1)$ ist ein Gegenbeispiel (1889 ist prim). Oder, wenn es tatsächlich nur um p(10) und nicht und die Dezimalstellen selbst geht: $p(x) = x^3 - 9x^2 + x - 9 = (x-9)(x^2+1)$, da p(10) = 101 ist.
Würdest du die Frage noch ein wenig präzisieren oder sind das tatsächlich Gegenbeispiele?

nein, das sind keine Gegenbeispiele, weil die Koeffizienten negativ sind!

[Christoph]

OP schrieb:

nein, das sind keine Gegenbeispiele, weil die Koeffizienten negativ sind!

Dann präzisier doch bitte deine Frage. Wie genau dürfen die Koeffizienten aussehen? Dürfen die nur einstellige, nichtnegative Dezimalzahlen annehmen?

[Xul]

Christoph schrieb:

daher hat dieses Polynom in den ganzen Zahlen keine Nullstelle.

uppps.. dass das auf die ganzen Zahlen beschränkt ist hab ich übersehen.

[OP]

Christoph schrieb:

OP schrieb:

nein, das sind keine Gegenbeispiele, weil die Koeffizienten negativ sind!

Dann präzisier doch bitte deine Frage. Wie genau dürfen die Koeffizienten aussehen? Dürfen die nur einstellige, nichtnegative Dezimalzahlen annehmen?

ja

[wissenwoller]

@alle:

1. OP ist nicht ich.
2. die frage ist hier nur in einem trollthread aufgetaucht. und zwar in ähnlich unpräziser form.

[OP]

http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=40212

[AnscheinendDochNichSoKlug]

Eine Frage an die ersten writter:
Wie kommt ihr darauf? Woher wisst ihr das? Versteht ihr überhaupt was ihr da postet?

Naja, ein 16 jähriger wills wissen ^^

[borg]

AnscheinendDochNichSoKlug schrieb:

Eine Frage an die ersten writter:
Wie kommt ihr darauf? Woher wisst ihr das? Versteht ihr überhaupt was ihr da postet?

Naja, ein 16 jähriger wills wissen ^^

das ist gar nichts kompliziertes, schau nach was ein "polynom über Z" ist und was irreduzibel bedeutet. alles andere an grundlagen solltest du schon haben um die frage und auch die antworten zu verstehen.

[ImmerNochNichtVersteher]

Das was Xul gepostet hat verstehe ich aber garnicht!

Was heißt dieses + und - untereinander?
Was macht man wenn da eine "tiefzahl" steht? 23₃

Und woher wisst ihr was P, z und die ganzen anderen Variablen bedeuten?

[Erklärer]

ImmerNochNichtVersteher schrieb:

Das was Xul gepostet hat verstehe ich aber garnicht!

Was heißt dieses + und - untereinander?
Was macht man wenn da eine "tiefzahl" steht? 23₃

Und woher wisst ihr was P, z und die ganzen anderen Variablen bedeuten?

"plusminus", d.h. beide Möglichkeiten, einmal mit +, enmal mit -, sind möglich

bei dem x_1,2 meint er die Lösungen x[t]1[/1] (die mit dem +) und die 2 mit dem -

P ist der Name unseres Polynoms, und P ist ein Polynom in der Variablen z

[wissenwoller]

ImmerNochNichtVersteher schrieb:

was heißt dieses + und - untereinander?

plus ODER minus. ganz einfach, nichts gehimnisvolles.

Was macht man wenn da eine "tiefzahl" steht? 23₃

das kann alles mögliche bedeuten. $a\_1, a\_2, a_3...$ ist einfach eine zählung. $100101001_1$ bedeutet, dass die zahl in binär geschrieben ist. $23_3$ ist offensichtlich keins von beidem, da eine 3 im 3-er-system nicht vorkommt, und man 23-er nicht zählen braucht...

Und woher wisst ihr was P, z und die ganzen anderen Variablen bedeuten?

was P bedeutet, kann man sich ja denken, wenn es um Polynome geht. außerdem hat das der erste antworter schon definiert.

ein (kleines) bisschen mathestudium ist dem verständnis natürlich nicht ganz unzuträglich. (und was irreduzibel heißt, wußte ich vorher nicht )