gleichungssystem lösen



  • hallo.

    ich habe hier ein problem mit dem lösen folgenden gleichungssytems. vielleicht kann sich das mal jemand anschauen?

    (I) a1*x + a2*y + a3z = 0
    (II) a4*x + a5*y + a6
    z = 0
    (III) a7*x + a8*y + a9*z = 0

    ich möchte nun gerne wissen, für welche x,y,z-werte, ausser natürlich (0,0,0), alle 3 gleichungen null werden. wie stelle ich das am dümmsten an?

    danke.
    STICK.



  • Versuch's mal damit: Gauß



  • mit GAUSS habe ich das schon probiert, da kürzt sich aber am ende immer alles weg, so dass nur die lösung (0,0,0) übrig bleibt, da halt auf der rechten seite nur 0 steht.

    oder sind die ergebnisse verhältniszahlen in abhängigkeit von einer der variablen?
    also z.b.: x = x, y = 1/2*x, z = 3/4*x oder so ähnlich?



  • Wenn die Nullmatriz übrigbleibt, heißt das, dass jede Lösung für x,y,z richtig ist. Dies kann aber auch nur passieren, wenn a_1 = a_2 = ... = a_9 = 0.

    Wenn du die Matrix allerdings in Dreiecksform bringen mit Rang der Matrix 3, dann ist die Lösung (0,0,0) auch die einzig richtige Lösung..



  • okay, ich habe das halt bisher so angestellt:

    zuerst habe ich gerechnet: a4*(I)-a1*(II)
    dann im anschluss: a7*(I)-a1*(III)

    dadurch kürzt sich x heraus und ich habe 2 neue gleichungen in abhängigkeit von y und z, die dann so aussehen:
    (IV) y*(a2*a4 - a1*a5) + z*(a3*a4 - a1*a6) = 0
    (V) y*(a2*a7 - a1*a8) + z*(a3*a7 - a1*a9) = 0

    normalerweise kann ich jetzt (IV) umstellen nach z, es ergibt sich:
    z = y*(a1*a5 - a2*a4)/(a3*a4 - a1*a6)

    und wenn ich das in (V) einsetze, könnte ich y erhalten! aber das sieht dann leider so aus:
    (V) y*(a2*a7 - a1*a8) + (a3*a7 - a1*a9)*y*(a1*a5 - a2*a4)/(a3*a4 - a1*a6) = 0

    gleichung (V) ergibt leider nur 0, wenn y=0. wenn y=0, dann z=0 und dann x=0. aber da muss es doch noch eine andere lösung geben, oder wo liegt mein problem?



  • hm... also das ist ein homogenes lineares gleichungssystem. Lineare Gleichungssysteme haben entweder a) eine eindeutige Lösung oder b) keine bzw. unendlich viele Lösungen.
    So, keine Lösung fällt bei homogenen raus, da x=y=z=0 immer eine Lösung ist. Also:
    Das System hat entweder eine Lösung (x=y=z=0) oder unendlich viele Lösungen. Stell mal die determinante der koeffiientenmatrix auf. wenn die 0 ist gibts unendlich viele lösungen, d.h. x kann in abhängigkeit von y und z dargestellt werden. Wenn die determinante nicht 0 ist, ist x=y=z=0 die einzige Lösung. Such nach Cramersche Regel da is das beschrieben.



  • Habs mir jetzt nicht wirklich angeguckt, aber durch 0 teilen ist sowieso immer böse. Damit das irgendwie richtig wird, müssteste noch jede Menge Fallunterscheidungen machen.

    Erscheint mir so allgemein nicht sehr sinnvoll. Was aber für deinen Lösungsraum U gilt ist, dass:

    Dimension U = Anzahl der Unbekannten - Rang der Matrix



  • @Maxi: wäre dann die angabe der unendlichen lösungen in etwa so?

    x = -(a2*y+a3*z)/a1
    y = y
    z = y*(a1*a5-a2*a4)/(a3*a4-a1*a6)

    @life: habe ich irgendwo geschrieben, dass ich durch 0 teilen will?

    DANKE.
    STICK.

    p.s.: gibt es im netz irgendwo eine library, wo man das als c++-code herunterladen kann? ich wollte das ganze nämlich im anschluß noch implementieren.



  • stick_thai schrieb:

    x = -(a2*y+a3*z)/a1
    y = y
    z = y*(a1*a5-a2*a4)/(a3*a4-a1*a6)

    @life: habe ich irgendwo geschrieben, dass ich durch 0 teilen will?

    Ja. Und zwar in der ersten Zeile, wenn a1 = 0 ist! Oder in der dritten Zeile, wenn a3 * a4 = a1 * a6 gilt.



  • hmmmm. muss ich da in meinem programm jetzt haufen fallunterscheidungen einbauen? da muss es doch irgendwo eine allgemeine lösungsformel für das problem geben?



  • @stick: habs ncih kontrolliert, könnte aber stimmen, sieht formal erstmal gut aus. Du kannst aber in x=... das z noch durch die GLeicung für z=... ersetzen hast nur dann das problem dass du da vielleicht doch ma durch null teilen musst.
    dafür kenne ich keine library. Vielleicht kann matlab oder maxima das lösen, kA, kenn mcih da nich so aus.
    Frage ncoh: stehen später a1-a9 fest oder willst du es vollkommen allgemein lösen und dann nur noch durch einsetzen von a1-a9 lösungen erhalten?



  • Maxi schrieb:

    hm... also das ist ein homogenes lineares gleichungssystem. Lineare Gleichungssysteme haben entweder a) eine eindeutige Lösung oder b) keine bzw. unendlich viele Lösungen.

    falsch, das gilt (für LGS über Divisionsalgebren) genau für unendliche Divisionsalgebren



  • hä? versteh ich nich. Wir ham das ina schule so gelernt. Es geht doch hier einfach nur um ein lineares Gleichungssystem welches im reellen gelöst werden soll, also stimmt meine aussage doch



  • Im Reellen stimmt das, aber davon steht beim OP nichts.



  • aso, naja was anderes kenn ich (noch) nich 🙂
    für mich is (noch) jedes lgs im reellen zu lösen *gg* bin noch nich so weit



  • Divisionsalgebren schrieb:

    Im Reellen stimmt das, aber davon steht beim OP nichts.

    solange sich das ganze in einem körper abspielt, ist es wurschtegal, ob im reellen oder nicht.


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