Operator Norm



  • Servus Folks,

    die lineare Algebra ist mir zwar bekannt und um beispielsweise die Stabilität eines numerischen Lösungsverfahren zu bestimmen, ist die Norm des Operators entscheidet. Insgesamt habe ich sechs verschiedene Definitionen von Normen gefunden 🙄

    Welche benutze ich nun für Operatoren ? 😕

    Gruß Winn



  • operator T:A->B zwischen normierten raeumen, dann ist die operatornorm von T definierte als das supremum der B-normen aller T-Bilder von elementen aus der A-einheitskugel.



  • Nun,klar das stimmt... aber welche Norm nehme ich nun im konkreten Fall, wenn ich die Norm des Operator so einstellen möchte, daß das Verfahren stabil wird ?

    Was ich bisher herausgefunden habe, bei meinem ersten Anwendungsfall handelt es sich um einen euklidschen Raum, ich habe reelle (n)x(n) Matrizen als Operatoren und diese Matrizen sind alle invertierbar... dann formuliert der Eigenwert bzw. Spektralwert doch das Stabilitätskriterium A aus ? Oder ?

    Der zweite Anwendungsfall, transformiert den euklidischen Raum mit Hilfe von Wavelets in den Hilbert-Raum, daß ist die Stelle an der ich mit Eigenwerten nicht mehr arbeiten kann, sondern nur noch über die Normen weiterkomme... aber nicht weiß, wie ich das konkret umsetzen kann ? Würde ich das System nicht ändern, müßte ich ja wieder auf das Stabilitätskriterium A schließen können...



  • wenn du in A und B die 2-norm hast, dann ist die dazugehoerige operatornorm das supremum der eigenwertbetraege, wenn meine anschauung stimmt.



  • PeterTheMaster schrieb:

    wenn du in A und B die 2-norm hast, dann ist die dazugehoerige operatornorm das supremum der eigenwertbetraege, wenn meine anschauung stimmt.

    sup (Ax)(Ax)^H = sup x(AAt)xH = (da AA^H hermitesch => diagonalisierbar) = sup |Eigenwerte von AA^H|

    sup über alle ||x||_2 = 1, daraus noch die Wurzel.

    PeterTheMasters Anschauung stimmt also für A diagonalisierbar



  • und ist l EW von A, so ist |l|^2 EW von AA^H



  • Hat jemand ein Beispiel für eine Matrix A, sodass AA^H einen Eigenwert hat, der nicht |l|^2 eines Eigenwertes l von A ist?



  • fdgfdgdf schrieb:

    und ist l EW von A, so ist |l|^2 EW von AA^H

    , wenn A = A^H

    Fragge: ja


Log in to reply