PEndelkörper



  • Hallo!
    ich weiß bei dieser physik aufgabe einfach keinen gescheiden ansatz:

    Kugel als Pendelk ̈orper. An einer masselosen Stange sei eine Kugel mit Radius
    r befestigt. Das System werde am anderen Stangenende aufgeh ̈angt (L: Entfernung
    Kugelmitte bis Aufh ̈angung) und in Schwingungen mit kleiner Amplitude versetzt.
    Wie groß ist die Kugel, wenn die Schwingungsfrequenz um 1% kleiner ist als im
    Grenzfall einer punktf ̈ormigen Masse (r
    → 0) ?
    Träagheitsmoment einer Kugel: I = 2/5 mr^2

    mein überlegungen bisher gehen so:

    trägeheitsmoment der kugel die um die stange mit länge l rotiert lässt sich mit dem satz von steiner berechnen:

    J = 2/5 mr^2 + mL^2

    die kinetische energie der kugel
    E = J*w^2 / 2

    die kinetsche energie des massenpunktes
    E = m*w^2 / 2

    und w wäre 2Pi/T ... wobei T ja die frequenz ist.

    kann ich die 2 energien nun einfach gleichsetzen und auf r freistellen, oder ist mein ansatz falsch?!

    danke,
    stefan



  • Ohne das jetzt ausprobiert nachgerechnet zu haben, gilt der Energiesatz, also E1+E2 = const. Jetzt kannst Du diese Gleichung nach der Zeit ableiten, dann hast Du d/dt(E1+E2)=0. Die resultierende Differentialgleichung bearbeitet man dann mit den üblichen mathematischen Verfahren.

    (Ich vermute übrigens, daß die kinetsche Energie des Massepunktes eher mv^2/2 heißen sollte, aber v(t) und w(t) hängen ja über den Radius zusammen.)



  • ähm und was soll E1 und E2 sein? und warum soll ich die gleichung nach der zeit ableiten? ... wir haben schwingungen gerade erst durch gemacht und differentialgleichung ist leider auch noch relativ neu für mich ...



  • Es treten doch bei deinem Problem verschiedene Energieformen auf und die Energie "pendelt" zwischen den verschiedenen Zuständen.

    Im Fall des punktförmigen Schwingers hast Du Ekin=mv(t)^2/2 und Epot=mgh(t) und den Energiesatz Ekin(t)+Epot(t)=const, für alle t.

    Der Wert der Konstante ist aber nicht direkt zu ermitteln (ich sehe wenigstens nicht, wie), also leitet man den obigen Term nach t ab, womit die Konstante verschwindet: d/dt(Ekin+Epot)=0. Jetzt muß man nur noch ein Koordinatensystem auswählen und den Ort des Schwingers r(t) (und daraus folgend h(t) und v(t), Kleinwinkelnäherung beachten) berechnen und die obige Differentialgleichung lösen und geeignete Randbedingungen einsetzten.

    Das zweite Problem mit einer Kugel als Schwingkörper bringt noch eine weitere Energieform mit ins Spiel, aber das Vorgehen bleit das gleiche.



  • ja, dann komm ich auf
    m*y'' = -m*g*y'

    weil bei kleiner amplitude ist ja sin(y') = y' oder?

    aber ich versteh immer noch nicht warum ich die jeweiligen energien ableiten soll...



  • hi,

    stell' mal die differentialgleichung für die schwingung nicht mit y, sondern mit ϕ\phi auf. dann siehst du den zusammenhang zwischen w und J sehr gut.



  • Stefan B schrieb:

    ...
    und w wäre 2Pi/T ... wobei T ja die frequenz ist.

    kann ich die 2 energien nun einfach gleichsetzen und auf r freistellen, oder ist mein ansatz falsch?!

    Die Frequenz im Einheitskreis ist (entspricht) 1/T:
    http://de.wikipedia.org/wiki/Hertz_(Einheit)

    cu
    :xmas1: P84


Log in to reply