Mittelwert und Summenfolge



  • Hallo.

    Kennt sich hier jemand mit der Konvergenz von Summenfolgen aus?
    Gegeben ist eine Menge reeller Zahlen x_1,x_2,...,xnRx\_1, x\_2, ... , x_n \in R, wobei x¯\bar{x} den Mittelwert der n Elemente darstellt. Zu zeigen ist, dass
    zi=1n(x¯z)2z{}\longmapsto{} \sum_{i=1}^n (\bar {x}-z)^2
    minimal wird.
    Irgendwie habe ich da ein Verständnisproblem. Irgendwie sieht das fast nach der Berechnungsvorschrift für die Varianz aus, allerdings subtrahiert man da den Mittelwert vom eigentlichen Stützwert x. Außerdem habe ich keine Ahnung was z in diesem Falle darstellen soll. Hat sich jemand damit schon mal befasst?



  • Bist du dir sicher, daß du dich bei der Formel nicht verschrieben hast? Normalerweise müsste unter dem Summenzeichen irgendein Bezug auf den Summenindex i auftreten.
    Ich tippe spontan auf zi=1n(xiz)2z{}\longmapsto{} \sum_{i=1}^n (x_i-z)^2

    Ansonsten hast du dort eine Funktion, die zu jedem beliebigen z aus R einen Wert liefert (sieht etwas komplizierter aus, aber ist trotzdem eine Funktion). Und von dieser mußt du dann das Minimum bestimmen und nachweisen, daß dieser gleich dem Mittelwert ist.



  • Ich habe den Zettel leider jetzt nicht hier, aber ich denke das war schon so. Mir kommt das eben auch suspekt vor. Kann ja auch sein der Mathe-Prof hat sich verschrieben, soll ja vorkommen (sind alles auch nur Menschen).
    Vorausgesetzt Deine Variante stimmt, wie soll die sich denn dann minimieren?



  • Ableitung bestimmen (Summenregel, Kettenregel), auseinandernehmen und Null setzen.
    (auch wenn's auf den ersten Blick komplizierter aussieht, das Ding da ist eine quadatratische Funktion)



  • Evtl. meinst du den Mittelwert der ersten i Elemente?
    Ansonsten steht da nichts anderes als
    zn(x¯z)2=nx¯22nx¯z+nz2z \mapsto n(\bar x - z)^{2} = n {\bar x}^{2} - 2n \bar x z + nz^{2}.
    Das Minimum zu finden sollte jetzt nicht weiter schwer sein.



  • Hallo Ihr,

    erst mal vielen Dank für Eure Hilfe.

    @CStoll: Ja Du hattest Recht, es muss
    zi=1n(xiz)2z{}\longmapsto{} \sum_{i=1}^n (x_i-z)^2
    heissen.

    @XFame: Laut der Aufgabe ging es nicht darum das Minimum zu finden, sondern jediglich zu beweisen, dass der Ausdruck minimal wird. Die zweite Ableitung ist größer Null, somit wäre die notwendige Bedingung erfüllt. Ob das als Beweis zählt muss ich noch rausfinden.



  • AndyDD schrieb:

    Die zweite Ableitung ist größer Null, somit wäre die notwendige Bedingung erfüllt. Ob das als Beweis zählt muss ich noch rausfinden.

    Nur die zweite Ableitung reicht nicht aus 😉 Du mußt auch nachweisen, daß die erste Ableitung gleich 0 ist.
    (sonst wäre jeder Punkt auf einer quadratischen Parabel ein Extremwert)



  • CStoll schrieb:

    Nur die zweite Ableitung reicht nicht aus 😉 Du mußt auch nachweisen, daß die erste Ableitung gleich 0 ist.
    (sonst wäre jeder Punkt auf einer quadratischen Parabel ein Extremwert)

    Ja, das habe ich ja auch gemacht, kommt ja als Schritt davor. Ich weiß nur nicht ob meine Darlegungen für den Beweis ausreichend sind.



  • ausreichend ist die feststellung, dass der einzige kritische punkt der mittelwert ist, zweite ableitung positiv, also lokales minimum. da die funktion stetig auf einer zusammenhaengenden menge ist und genau ein lokales extremum hat, ist dieses global.


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