Flächenberechnung...

asotbb

Hi!
Wir schreiben demnächst Mathe soweit so gut, aber bei einer Aufgabe komme ich ums Verrecken nicht weiter, es wäre echt klasse wenn mir jemand einen Lösungsansatz liefern könnte oder sie mir vllt sogar vorrechnen könnte.

Aufgabe:
Die Funktion f ist auf dem Intervall [a;b] definiert und es ist f(a) != f(b). Wenn c ε |R mit f(a) < c < f(b) oder f(b) < c < f(a) ist, begrenzen das Schaubild von f sowie die Geraden mit der Gleichung x=a, x=b und y=c eine Fläche, die aus zwei Teilen besteht. Bestimmen Sie c so, dass die beiden Teilflächen denselben Inhalt haben.
f(x)=4x - x²; a=0; b=2

Das Einzige was mir da eingefallen ist, womit ich aber nicht weiterkomme ist, da A₁ = A₂ :
∫(g(x)-f(x),0,?) = ∫(f(x)-g(x),?,2)
wobei g(x) = y = c ist
aber damit komm ich nicht wirklich weiter.

Die Lösung hab ich auch: 16/3 - 2c = 0 und damit c = 8/3.
Nur wie man darauf kommt versteh beim besten Willen nicht.

Schonmal vielen Dank im voraus, wäre nett wenn mir jemand dabei helfen könnte, danke!

mfg
blut-lecker

ness

wenn ich jetzt mal f(a) < c < f(b) annehme (was ja aus der Aufgabenstellung folgt), dann muss gelten (sry, bin nich so der latex-guru)

Wir rechnen erst mal so um, dass wir c=0 nehmen können (also das unsere Flächen durch die x-Achse begrenzt werden, und wir integrieren können,
um auf den Flächeninhalt zu kommen) und integrieren dann, um auf den Flächeninhalt zu kommen, und setzen nach Aufgabenstellung gleich:
     s                b
     /                /
     [                [
   - I  f(x) - c dx = I  f(x) - c dx
     ]                ]
    /                /
    a                s
Wobei s die x-Koordinate des Schnittpunktes von f(x) mit y=c (bzw. f(x) - c mit y=0) ist.
Eine Stammfunktion von f(x)-c ist:
                   3
             2   x
   F(x) = 2 x  - -- - c x
                 3
Wir haben also
-(F(s)-F(a)) = F(a)-F(s) = F(b)-F(s)
F(a) = F(b)
a=0, b=2 Einsetzen:
    16
0 = -- - 2 c
    3

Ich hoffe das ist verständlich.

/edits: Erklärungen..

asotbb

Hi!
Vielen Dank ness, da hätt ich au selbst drauf kommen müssen naja, soweit war ich ja von der Lösung ja nicht weg, auf jeden Fall danke ich dir.

mfg
blut-lecker