Komplexe Zahlen - Inverse Herleitung

Ich lese gerade das Buch Lineare Algebra von A. Beutelspacher.

Darin wird das Inverse Element wie folgt hergeleitet:

Wir müssen jetzt noch nachweisen, dass jedes Element (a,b) [e]ne[/e] (0,0) ein Inverses hat; das bedeutet, dass es genau ein Element (a',b') gibt mit (a+bi)*(a'+b'i) = 1 also (a,b)*(a',b')=(1,0). Das bedeutet 1 = (a+bi)*(a'+b'i)=aa'-bb'+(a+b'+a'b)i. Also muss 1 = aa'-bb' und 0 = a+b'+a'b gelten. Daraus folgt abb'=a²a'-a und abb'=-a'b², also a'(a²+b²)=a. Das heißt a'=a/(a²+b²), b'=-b(a²+b²).

Die beiden Gleichungen nach dem "Daraus folgt..." kann ich nicht navollziehen, wie kommen diese beiden denn zu Stande?
Und da ich die nicht verstehe, verstehe ich natürlich den Rest auch nicht.

Danke

Ok, Latex zu benutzen war keine so gute Idee (und dann hab ich noch versehentlich abgeschickt, statt vorschau).

Hier nochmal ohne Latex-Tags:

Wir müssen jetzt noch nachweisen, dass jedes Element (a,b) ≠ (0,0) ein
Inverses hat; das bedeutet, dass es genau ein Element (a',b') gibt mit
(a+bi)(a'+b'i) = 1 also (a,b)(a',b')=(1,0).

Das bedeutet 1 = (a+bi)*(a'+b'i)=aa'-bb'+(a+b'+a'b)i.

Also muss 1 = aa'-bb' und 0 = a+b'+a'b gelten.

Daraus folgt abb'=a²a'-a und abb'=-a'b²,
also a'(a²+b²)=a.

Das heißt a'=a/(a²+b²), b'=-b(a²+b²).

Christoph

Hobby-Mathematiker schrieb:

Also muss 1 = aa'-bb' und 0 = a+b'+a'b gelten.

Daraus folgt abb'=a²a'-a und abb'=-a'b²,
also a'(a²+b²)=a.

Das heißt a'=a/(a²+b²), b'=-b(a²+b²).

Das sind nur Äquivalenzumformungen der beiden Gleichungen. Zum Beispiel für die erste:
1 = aa' - bb'
<=> bb' = aa' - 1
<=> abb' = a^2*a' - a

Die zweite Gleichung ist noch einfacher herzuleiten, du hast dich nur bei der Ausgangsgleichung vertippt:
0 = ab' + a'b

Dann hast du zwei Gleichungen für abb', die kannst du kombinieren (AKA voneinander abziehen), um die Gleichung nach dem "also" zu bekommen.

Taurin

Du hast ja die Gleichung

$1 = (a+bi)*(a'+b'i)=aa'-bb'+(a+b'+a'b)i$

Jetzt schmeißen wir den mittleren Teil weg, also

$1 = aa'-bb'+(a+b'+a'b)i$

Ausserdem ist 1 natürlich das selbe wie 1 + 0*i

Zwei komplexe Zahlen sind genau dann gleich, wenn Real- und Imaginärteil jeweils
gleich sind. Aus dem Realteil bekommst du also $1 = aa'-bb'$ und
aus dem Imaginärteil $0 = a+b'+a'b$

Der Rest ist einfaches Gleichungsauflösen.